Đến nội dung

Hình ảnh

Cho hình thang ABCD (AB // CD).Chứng minh rằng: EP = FQ

quanhehinhhoc

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
Sangnguyen3

Sangnguyen3

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 222 Bài viết
Cho hình thang ABCD (AB // CD). Dựng ra phía ngoài các tam giác AED và CFB đồng dạng(EAD=FCB,EDA=FBC).Gọi H, K là hình chiếu của E, F trên AD và BC. Qua H, K kẻ các đường thẳng  song song với BD, tương ứng cắt AB tại M, cắt CD tại N. Đường thẳng  qua M, N vuông góc với AB cắt EF tại Q và P. Chứng minh rằng: EP = FQ.277945920_283606120586882_3944030258961066642_n.png


#2
vkhoa

vkhoa

    Trung úy

  • Điều hành viên THPT
  • 933 Bài viết
Bổ đề: Cho 2 tam giác $ABC$ và $A'B'C'$ đồng dạng và cùng hướng
$M, M'$ lần lượt là trung điểm $BC, B'C'$
Cm góc giữa $AM, A'M'$ bằng góc giữa $AB, A'B'$
Cm b đ: Dựng tam giác $AB''C''$ bằng, có cạnh song song với tam giác $A'B'C'$, $M''$ trung điểm $B''C''$
có $\triangle ABC\sim \triangle AB''C''$
$\Rightarrow \frac{AB}{AB''} = \frac{BC}{B''C''} =\frac{BM}{B''M''}$
$\Rightarrow \triangle ABM\sim\triangle AB''M''$ (c, g, c)
$\Rightarrow \triangle ABB''\sim\triangle AMM''$ (c, g, c)
$\Rightarrow \widehat{BAB''} = \widehat{MAM''}$ (đpcm)

Cm:
$MN$ cắt $HK$ tại $J$
$\triangle AED\sim\triangle CFB$
$\Rightarrow \frac{AH}{HD} = \frac{CK}{KB}$
$\Rightarrow \frac{HM}{BD} =\frac{KN}{DB}$
$\Rightarrow HM = KN$
$\Rightarrow MHNK$ là hình bình hành
$\Rightarrow J$ là trung điểm $MN, HK$
Hạ $JI \perp AB$ cắt $EF$ tại $I$
$\Rightarrow I$ trung điểm $PQ$ (1)
Dựng các hình bình hành $JHEX, JKFY$
có $EX = FY$ và $EX // FY$
$\Rightarrow EXFY$ là hình bình hành
$EF$ cắt $XY$ tại $I'$
$\Rightarrow I'$ là trung điểm $EF, XY$
Dựng hình bình hành $ADBU$
$S$ trung điểm $UC$
$V$ trung điểm $AB, DU$
$\Rightarrow A, B, S $ thẳng hàng
Có $\frac{JX}{JY} = \frac{HE}{KF} = \frac{AD}{CB} = \frac{BU}{BC}$
có $\widehat{XJY} = \widehat{UBC}$ (góc có cạnh tương ứng vuông góc)
$\Rightarrow \triangle XJY\sim \triangle UBC$ (c, g, c)
Áp dụng bổ đề, ta có góc giữa $JI', BS$ bằng góc giữa $BU, JX$ bằng 90 độ
$\Rightarrow JI' \perp AB$
$\Rightarrow I \equiv I'$
$\Rightarrow I$ trung điểm $EF, PQ$
$\Rightarrow EP = FQ$ (đpcm)20220520_162603_resize_60.jpg

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vkhoa: 20-05-2022 - 17:36





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh