Cho hình thang ABCD (AB // CD). Dựng ra phía ngoài các tam giác AED và CFB đồng dạng(EAD=FCB,EDA=FBC).Gọi H, K là hình chiếu của E, F trên AD và BC. Qua H, K kẻ các đường thẳng song song với BD, tương ứng cắt AB tại M, cắt CD tại N. Đường thẳng qua M, N vuông góc với AB cắt EF tại Q và P. Chứng minh rằng: EP = FQ.
Cho hình thang ABCD (AB // CD).Chứng minh rằng: EP = FQ
Bắt đầu bởi Sangnguyen3, 12-04-2022 - 22:48
quanhehinhhoc
#1
Đã gửi 12-04-2022 - 22:48
#2
Đã gửi 20-05-2022 - 16:32
Bổ đề: Cho 2 tam giác $ABC$ và $A'B'C'$ đồng dạng và cùng hướng
$M, M'$ lần lượt là trung điểm $BC, B'C'$
Cm góc giữa $AM, A'M'$ bằng góc giữa $AB, A'B'$
Cm b đ: Dựng tam giác $AB''C''$ bằng, có cạnh song song với tam giác $A'B'C'$, $M''$ trung điểm $B''C''$
có $\triangle ABC\sim \triangle AB''C''$
$\Rightarrow \frac{AB}{AB''} = \frac{BC}{B''C''} =\frac{BM}{B''M''}$
$\Rightarrow \triangle ABM\sim\triangle AB''M''$ (c, g, c)
$\Rightarrow \triangle ABB''\sim\triangle AMM''$ (c, g, c)
$\Rightarrow \widehat{BAB''} = \widehat{MAM''}$ (đpcm)
Cm:
$MN$ cắt $HK$ tại $J$
$\triangle AED\sim\triangle CFB$
$\Rightarrow \frac{AH}{HD} = \frac{CK}{KB}$
$\Rightarrow \frac{HM}{BD} =\frac{KN}{DB}$
$\Rightarrow HM = KN$
$\Rightarrow MHNK$ là hình bình hành
$\Rightarrow J$ là trung điểm $MN, HK$
Hạ $JI \perp AB$ cắt $EF$ tại $I$
$\Rightarrow I$ trung điểm $PQ$ (1)
Dựng các hình bình hành $JHEX, JKFY$
có $EX = FY$ và $EX // FY$
$\Rightarrow EXFY$ là hình bình hành
$EF$ cắt $XY$ tại $I'$
$\Rightarrow I'$ là trung điểm $EF, XY$
Dựng hình bình hành $ADBU$
$S$ trung điểm $UC$
$V$ trung điểm $AB, DU$
$\Rightarrow A, B, S $ thẳng hàng
Có $\frac{JX}{JY} = \frac{HE}{KF} = \frac{AD}{CB} = \frac{BU}{BC}$
có $\widehat{XJY} = \widehat{UBC}$ (góc có cạnh tương ứng vuông góc)
$\Rightarrow \triangle XJY\sim \triangle UBC$ (c, g, c)
Áp dụng bổ đề, ta có góc giữa $JI', BS$ bằng góc giữa $BU, JX$ bằng 90 độ
$\Rightarrow JI' \perp AB$
$\Rightarrow I \equiv I'$
$\Rightarrow I$ trung điểm $EF, PQ$
$\Rightarrow EP = FQ$ (đpcm)
$M, M'$ lần lượt là trung điểm $BC, B'C'$
Cm góc giữa $AM, A'M'$ bằng góc giữa $AB, A'B'$
Cm b đ: Dựng tam giác $AB''C''$ bằng, có cạnh song song với tam giác $A'B'C'$, $M''$ trung điểm $B''C''$
có $\triangle ABC\sim \triangle AB''C''$
$\Rightarrow \frac{AB}{AB''} = \frac{BC}{B''C''} =\frac{BM}{B''M''}$
$\Rightarrow \triangle ABM\sim\triangle AB''M''$ (c, g, c)
$\Rightarrow \triangle ABB''\sim\triangle AMM''$ (c, g, c)
$\Rightarrow \widehat{BAB''} = \widehat{MAM''}$ (đpcm)
Cm:
$MN$ cắt $HK$ tại $J$
$\triangle AED\sim\triangle CFB$
$\Rightarrow \frac{AH}{HD} = \frac{CK}{KB}$
$\Rightarrow \frac{HM}{BD} =\frac{KN}{DB}$
$\Rightarrow HM = KN$
$\Rightarrow MHNK$ là hình bình hành
$\Rightarrow J$ là trung điểm $MN, HK$
Hạ $JI \perp AB$ cắt $EF$ tại $I$
$\Rightarrow I$ trung điểm $PQ$ (1)
Dựng các hình bình hành $JHEX, JKFY$
có $EX = FY$ và $EX // FY$
$\Rightarrow EXFY$ là hình bình hành
$EF$ cắt $XY$ tại $I'$
$\Rightarrow I'$ là trung điểm $EF, XY$
Dựng hình bình hành $ADBU$
$S$ trung điểm $UC$
$V$ trung điểm $AB, DU$
$\Rightarrow A, B, S $ thẳng hàng
Có $\frac{JX}{JY} = \frac{HE}{KF} = \frac{AD}{CB} = \frac{BU}{BC}$
có $\widehat{XJY} = \widehat{UBC}$ (góc có cạnh tương ứng vuông góc)
$\Rightarrow \triangle XJY\sim \triangle UBC$ (c, g, c)
Áp dụng bổ đề, ta có góc giữa $JI', BS$ bằng góc giữa $BU, JX$ bằng 90 độ
$\Rightarrow JI' \perp AB$
$\Rightarrow I \equiv I'$
$\Rightarrow I$ trung điểm $EF, PQ$
$\Rightarrow EP = FQ$ (đpcm)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vkhoa: 20-05-2022 - 17:36
- DOTOANNANG, thanhng2k7 và Sangnguyen3 thích
(Cách chứng minh một bài toán dựng hình là không thể dựng được bằng thước và compa?????)
(Giúp với Tính $\int_m^n\left(\sqrt{ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e}\right) dx$)
(Tam giác ABC cân tại A, lấy D trên cạnh BC, r1,r2 là bán kính nội tiếp ABD, ACD. Xác định vị trí D để tích r1.r2 lớn nhất )
(Nhấn nút "Thích" thay cho lời cám ơn, nút Thích nằm cuối mỗi bài viết, đăng nhập để nhìn thấy nút Thích)
(Giúp với Tính $\int_m^n\left(\sqrt{ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e}\right) dx$)
(Tam giác ABC cân tại A, lấy D trên cạnh BC, r1,r2 là bán kính nội tiếp ABD, ACD. Xác định vị trí D để tích r1.r2 lớn nhất )
(Nhấn nút "Thích" thay cho lời cám ơn, nút Thích nằm cuối mỗi bài viết, đăng nhập để nhìn thấy nút Thích)
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh