Cho $a,b,c>0$. Chứng minh rằng $\frac{b^3+2abc+c^3}{a^2+bc} + \frac{c^3+2abc+a^3}{b^2+ca}+\frac{a^3+2abc+b^3}{c^2+ab} \ge 2\left(a+b+c\right)$
$\sum \frac{b^3+2abc+c^3}{a^2+bc}\ge 2\left(a+b+c\right)$
Bắt đầu bởi UserNguyenHaiMinh, 14-04-2022 - 17:51
#2
Đã gửi 14-04-2022 - 18:43
Ta để ý đẳng thức sau: $$\frac{b^3+2abc+c^3}{a^2+bc}+a=\frac{a^3+b^3+c^3+3abc}{a^2+bc}$$
Như vậy ta chuyển về chứng minh: $$(a^3+b^3+c^3+3abc)(\frac{1}{a^2+bc}+\frac{1}{b^2+ca}+\frac{1}{c^2+ab})\geqslant 3(a+b+c)$$
Sau khi áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz thì ta quy về chứng minh: $$3(a^3+b^3+c^3+3abc)\geqslant (a+b+c)(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca)$$
Đây chính là bất đẳng thức Schur quen thuộc
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$
- Hoang72, UserNguyenHaiMinh và Sangnguyen3 thích
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh