Đến nội dung

Hình ảnh

Cho $f'(x) \geqslant x + \frac{1}{x}$ và $f(1) = 1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $f(2)$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
roby10

roby10

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 27 Bài viết

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}^{+}$ thỏa mãn $f'(x) \geqslant x + \frac{1}{x} \, \forall x\in \mathbb{R}^{+}$ và $f(1) = 1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $f(2)$?

A.  3

B.  2

C.  $\frac{5}{2} + \ln 2$

D.  4


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 24-04-2022 - 23:22
Tiêu đề + LaTeX


#2
chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2494 Bài viết

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}^{+}$ thỏa mãn $f'(x) \geqslant x + \frac{1}{x} \, \forall x\in \mathbb{R}^{+}$ và $f(1) = 1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $f(2)$?

A.  3

B.  2

C.  $\frac{5}{2} + \ln 2$

D.  4

$f(2)$ sẽ đạt giá trị nhỏ nhất khi $f'(x)=x+\frac{1}{x},\forall x\in \mathbb{R}^{+}$

Khi đó $f(x)=\frac{x^2}{2}+\ln x+C,\forall x\in \mathbb{R}^{+}$

Mà $f(1)=1\Rightarrow \frac{1^2}{2}+\ln 1+C=1\Rightarrow C=\frac{1}{2}$

$\Rightarrow f(2)=\frac{2^2}{2}+\ln 2+\frac{1}{2}=\frac{5}{2}+\ln 2$
 


...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)


#3
Nesbit

Nesbit

    ...let it be...

  • Quản lý Toán Ứng dụng
  • 2412 Bài viết

$f(2)$ sẽ đạt giá trị nhỏ nhất khi $f'(x)=x+\frac{1}{x},\forall x\in \mathbb{R}^{+}$

 

Dòng này thấy chưa rõ lắm nhỉ, mặc dù đúng nhưng hơi khó hiểu. Có thể Nesbit bỏ qua điều gì đó hiển nhiên, cơ mà mệnh đề này có khi tới cuối lời giải mới thấy được, giống như lời giải bên dưới.

 

Nếu đặt $g(x) = f(x) - \frac{x^2}{2} - \ln x$ thì $g(x)$ đồng biến và do đó $g(2) \ge g(1)$, nghĩa là $f(2) \ge \frac{5}{2}+\ln 2$. Đẳng thức xảy ra khi $g$ là hàm constant, nghĩa là mệnh đề ở trên.


Không đọc tin nhắn nhờ giải toán.

 

Góp ý về cách điều hành của mod

 

 


#4
Nesbit

Nesbit

    ...let it be...

  • Quản lý Toán Ứng dụng
  • 2412 Bài viết

Cho rõ hơn nữa thì nên thay câu cuối ở trên thành "đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $g(2) = g(1)$, nghĩa là $g$ là hàm hằng trên đoạn $[1,2]$". Ở các khoảng còn lại thì không nhất thiết là constant, miễn sao $g$ đồng biến và khả vi là được.


Không đọc tin nhắn nhờ giải toán.

 

Góp ý về cách điều hành của mod

 

 





2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh