Chủ đề này có 2 trả lời

[supermember]

Cho hàm số $f: \mathbb{N}^{*} \mapsto  \mathbb{N}^{*}$ thỏa mãn đồng thời $3$ điều kiện:

 

$1/$ $f(xy) = f(x) + f(y) -1$ với mọi  $ x;y \in \mathbb{N}^{*}$

 

$2/$ Chỉ tồn tại hữu hạn giá trị $x$ nguyên dương thỏa $f(x) =1$

 

$3/$ $f(30) =4$

 

Hãy tính $ f(14400)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi supermember: 03-05-2022 - 22:19

[supermember]

Gợi ý:  Với số nguyên dương $n$, hãy viết $n$ dưới dạng phân tích thành thừa số nguyên tố: $n = p^{\alpha_1}_{1} p^{\alpha_2}_{2} \cdots p^{\alpha_k}_{k}$

 

Đồng thời đặt $ g(x) = f(x)-1$ để thu gọn điều kiện $(1)$ 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi supermember: 28-05-2022 - 21:10

[Hoang72]

Thay $x=y=1$ vào điều kiện 1 ta có $f(1)=1$.

Giả sử tồn tại $a>1$ sao cho $f(a)=1$ thì thay $x=y=a$ vào (1) ta có $f(a^2)=1$. Tương tự $f(a^4)=1;f(a^8)=1;...$, trái với điều kiện 2.

Khi đó $f(x)\geq 2,\forall x\in\mathbb N,x>1$.

Ngoài ra sử dụng điều kiện 1 ta có: $f(30)=f(2)+f(15)-1=f(2)+f(3)+f(5)-2=4\Leftrightarrow f(2)+f(3)+f(5)=6$.

Do đó $f(2)=f(3)=f(5)=2$.

Từ đó $f(14400)=f(2^6 . 3^2 . 5^2)=6f(2)+2f(3)+2f(5)-9=11$.