Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
* * * * * 1 Bình chọn

giúp mình với... cảm ơn nhiều


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 7 trả lời

#1 LK1712

LK1712

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 9 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:hà nội
  • Sở thích:ngủ

Đã gửi 25-03-2020 - 22:44

cho tam giác ABCnội tiếp đường tròn tâm (o) các đường phân giác AA1 BB1 CC1 cắt O tại A2 B2 C2 .Tìm min
                           S=AA2/A1A2 +BB2/B1B2+CC2/C1C2



#2 DrGenius

DrGenius

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 31 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Thành phố Hồ Chí Minh
  • Sở thích:Mọi thứ nha nha nha =))

Đã gửi 26-03-2020 - 10:25

Đặt BC = a, CA = b, AB = c (a, b, c > 0)

Ta có: $\widehat{A_1AC} = \widehat{BAA_2} ; \widehat{ACA_1} = \widehat{AA_2B} => \Delta AA_1C \sim \Delta ABA_2 => \frac{AA_1}{AB} = \frac{A_1C}{A_2B} => AA_1 = \frac{A_1C.AB}{A_2C}$.

Lại có $\widehat{A_2CA_1} = \widehat{A_2AC} => \Delta A_2A_1C \sim \Delta A_2CA => \frac{A_1A_2}{A_2C} = \frac{A_1C}{AC}$ $=> A_1A_2 = \frac{A_1C.A_2C}{AC}$

=> $\frac{AA_1}{A_1A_2} = \frac{AB.A_1C}{A_2C} . \frac{AC}{A_1C.A_2C} = \frac{AB.AC}{A_2C^2}$

Gọi D là trung điểm BC. Ta có: $\frac{CD}{CA_2} = cos\widehat{DCA_2} => CA_2 = \frac{BC}{2cos\frac{\widehat{A}}{2}}$

$=> CA_2^2 = \frac{BC^2}{4cos^2\frac{\widehat{A}}{2}} = \frac{BC^2}{2.(1+cos\widehat{A})}$

$=> \frac{AA_1}{A_1A_2} = \frac{AB.AC.2(1+cos\widehat{A})}{BC^2} = \frac{2.AB.AC + 2.AB.AC.cos\widehat{A}}{BC^2}$

Áp dụng định lý cos cho $\Delta ABC$, ta có: $BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2.AB.AC.cos\widehat{A}$

$=> 2.AB.AC.cos\widehat{A} = AB^2 + AC^2 - BC^2 => \frac{AA_1}{A_1A_2} = \frac{2AB.AC+AB^2+AC^2-BC^2}{BC^2} = \frac{(AB+AC)^2-BC^2}{BC^2} = (\frac{b+c}{a})^2 - 1$.

Tương tự, $\frac{BB_1}{B_1B_2} = (\frac{a+c}{b})^2 - 1 ; \frac{CC_1}{C_1C_2} = (\frac{a+b}{c})^2 - 1$.

$=> \frac{AA_1}{A_1A_2} + \frac{BB_1}{B_1B_2} + \frac{CC_1}{C_1C_2} = (\frac{b+c}{a})^2 + (\frac{a+c}{b})^2 + (\frac{a+b}{c})^2 - 3$.

Áp dụng hai bất đẳng thức cơ bản sau: $x^2 + y^2 + z^2 \geq \frac{(x+y+z)^2}{3}, \frac{x+y}{z} + \frac{x+z}{y} + \frac{y+z}{x} \geq 6$, ta có: $\frac{AA_1}{A_1A_2} + \frac{BB_1}{B_1B_2} + \frac{CC_1}{C_1C_2} \geq \frac{(\frac{b+c}{a} + \frac{a+c}{b} + \frac{a+b}{c})^2}{3} - 3 >= \frac{6^2}{3} - 3 = 9$.

$\leftrightarrow S - 3 \geq 9 => S \geq 12$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c. Vậy min S = 12 khi $\Delta ABC$ đều.

Hình gửi kèm

  • feqf.png

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DrGenius: 26-03-2020 - 12:42


#3 LK1712

LK1712

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 9 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:hà nội
  • Sở thích:ngủ

Đã gửi 26-03-2020 - 12:22

thank bạn nha



#4 LK1712

LK1712

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 9 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:hà nội
  • Sở thích:ngủ

Đã gửi 26-03-2020 - 12:38

Đặt BC = a, CA = b, AB = c (a, b, c > 0)

Ta có: $\widehat{A_1AC} = \widehat{BAA_2} ; \widehat{ACA_1} = \widehat{AA_2B} => \Delta AA_1C \sim \Delta ABA_2 => \frac{AA_1}{AB} = \frac{A_1C}{A_2B} => AA_1 = \frac{A_1C.AB}{A_2C}$.

Lại có $\widehat{A_2CA_1} = \widehat{A_2AC} => \Delta A_2A_1C \sim \Delta A_2CA => \frac{A_1A_2}{A_2C} = \frac{A_1C}{AC}$ $=> A_1A_2 = \frac{A_1C.A_2C}{AC}$

=> $\frac{AA_1}{A_1A_2} = \frac{AB.A_1C}{A_2C} . \frac{AC}{A_1C.A_2C} = \frac{AB.AC}{A_2C^2}$

Gọi D là trung điểm BC. Ta có: $\frac{CD}{CA_2} = cos\widehat{DCA_2} => CA_2 = \frac{BC}{2cos\frac{\widehat{A}}{2}}$

$=> CA_2^2 = \frac{BC^2}{4cos^2\frac{\widehat{A}}{2}} = \frac{BC^2}{2.(1+cos\widehat{A})}$

$=> \frac{AA_1}{A_1A_2} = \frac{AB.AC.2(1+cos\widehat{A})}{BC^2} = \frac{2.AB.AC + 2.AB.AC.cos\widehat{A}}{BC^2}$

Áp dụng định lý cos cho $\Delta ABC$, ta có: $BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2.AB.AC.cos\widehat{A}$

$=> 2.AB.AC.cos\widehat{A} = AB^2 + AC^2 - BC^2 => \frac{AA_1}{A_1A_2} = \frac{2AB.AC+AB^2+AC^2-BC^2}{BC^2} = \frac{(AB+AC)^2-BC^2}{BC^2} = (\frac{b+c}{a})^2 - 1$.

Tương tự, $\frac{BB_1}{B_1B_2} = (\frac{a+c}{b})^2 - 1 ; \frac{CC_1}{C_1C_2} = (\frac{a+b}{c})^2 - 1$.

$=> \frac{AA_1}{A_1A_2} + \frac{BB_1}{B_1B_2} + \frac{CC_1}{C_1C_2} = (\frac{b+c}{a})^2 + (\frac{a+c}{b})^2 + (\frac{a+b}{c})^2 - 3$.

Áp dụng hai bất đẳng thức cơ bản sau: $x^2 + y^2 + z^2 \geq \frac{(x+y+z)^2}{3}, \frac{x+y}{z} + \frac{x+z}{y} + \frac{y+z}{x} \geq 6$, ta có: $S = \frac{AA_1}{A_1A_2} + \frac{BB_1}{B_1B_2} + \frac{CC_1}{C_1C_2} \geq \frac{(\frac{b+c}{a} + \frac{a+c}{b} + \frac{a+b}{c})^2}{3} - 3 >= \frac{6^2}{3} - 3 = 9$.

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c. Vậy min S = 9 khi $\Delta ABC$ đều.

đọc lạ đề bài bạn ơi



#5 DrGenius

DrGenius

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 31 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Thành phố Hồ Chí Minh
  • Sở thích:Mọi thứ nha nha nha =))

Đã gửi 26-03-2020 - 12:42

đọc lạ đề bài bạn ơi

Mình sửa lại rồi, xin lỗi bạn.



#6 LK1712

LK1712

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 9 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:hà nội
  • Sở thích:ngủ

Đã gửi 26-03-2020 - 12:45

Mình sửa lại rồi, xin lỗi bạn.

min AA2/A1A2 +BB2/B1B2+CC2/C1C2

của bạn là AA1/A1A2 rồi


#7 DrGenius

DrGenius

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 31 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Thành phố Hồ Chí Minh
  • Sở thích:Mọi thứ nha nha nha =))

Đã gửi 26-03-2020 - 12:46

 

min AA2/A1A2 +BB2/B1B2+CC2/C1C2

của bạn là AA1/A1A2 rồi

 

Mình đã sửa lại ở trên rồi, bạn có thể xem lại giúp mình nha.



#8 LK1712

LK1712

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 9 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:hà nội
  • Sở thích:ngủ

Đã gửi 26-03-2020 - 12:47

Mình đã sửa lại ở trên rồi, bạn có thể xem lại giúp mình nha.

ok mình xin lỗi nha






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh