Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn ab+bc+ca=3.Chứng minh rằng:
$\sqrt[3]{\frac{a}{b(b+2c)}} + \sqrt[3]{\frac{b}{c(c+2a)}} + \sqrt[3]{\frac{c}{a(a+2b)}} \geq \frac{3}{\sqrt[3]{3}}$
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn ab+bc+ca=3.Chứng minh rằng:
$\sqrt[3]{\frac{a}{b(b+2c)}} + \sqrt[3]{\frac{b}{c(c+2a)}} + \sqrt[3]{\frac{c}{a(a+2b)}} \geq \frac{3}{\sqrt[3]{3}}$
Áp dụng bất đẳng thức Holder, ta được: $(\sqrt[3]{\frac{a}{b(b+2c)}}+\sqrt[3]{\frac{b}{c(c+2a)}}+\sqrt[3]{\frac{c}{a(a+2b)}})^3\left [ a(b+2c)+b(c+2a)+c(a+2b) \right ]\geqslant (\frac{\sqrt{a}}{\sqrt[4]{b}}+\frac{\sqrt{b}}{\sqrt[4]{c}}+\frac{\sqrt{c}}{\sqrt[4]{a}})^4$
Ta đặt $(\sqrt[4]{a},\sqrt[4]{b},\sqrt[4]{c})\rightarrow (x,y,z)$ thì ta quy về chứng minh: $\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{z}+\frac{z^2}{x}\geqslant 3$ với $x^4y^4+y^4z^4+z^4x^4=3$
Tiếp tục dùng Holder, ta được: $(\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{z}+\frac{z^2}{x})^4\geqslant \frac{(x^2+y^2+z^2)^6}{(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)^2}=\frac{(x^2+y^2+z^2)^6(x^4+y^4+z^4)}{(x^4+y^4+z^4)(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)^2}\geqslant \frac{27(x^2+y^2+z^2)^6(x^4+y^4+z^4)}{(x^2+y^2+z^2)^6}$
Như vậy: $\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{z}+\frac{z^2}{x}\geqslant \sqrt[4]{27(x^4+y^4+z^4)}\geqslant 3$
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh