Cho x,y,z là 3 số thực dương thỏa mãn $\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\frac{x^{3}}{2(z+x)y}+\frac{y^{3}}{2(x+y)z}+\frac{z^{3}}{2(y+z)x}$
Min $P=\frac{x^{3}}{2(z+x)y}+\frac{y^{3}}{2(x+y)z}+\frac{z^{3}}{2(y+z)x}$
#1
Đã gửi 17-05-2022 - 19:55
#2
Đã gửi 17-05-2022 - 22:30
$P=\sum \frac{x^{3}}{2(x+z)y}=\sum \frac{x^{4}}{2xy(x+z)}\geq \sum \frac{(\sum x^{2})^{2}}{2[\sum xy(x+y)]}$
Có :
$\sum xy(x+y)\leq \sqrt{(\sum x^{2}z^{2})[\sum (x+z)^{2})]} \leq \sqrt{\frac{(\sum x^{2})^{2}}{3}[2(\sum x^{2})+2(\sum xy)]} \leq \sqrt{\frac{(\sum x^{2})^{2}}{3}[4(\sum x^{2})]}\doteq \sqrt{\frac{4}{3}(\sum x^{2})^{3}}$
$\Rightarrow P=\frac{(\sum x^{2})^{2}}{2\frac{4}{3}(\sum x^{2})^{3}} \doteq \frac{\sqrt{3}}{4}\sqrt{\sum x^{2}}\geq \frac{\sqrt{3}}{4}\sqrt{xy+yz+zx}\geq \frac{\sqrt{3}}{4}\sqrt{\frac{(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx})^{2}}{3}}$
Do đó
$p\geq \frac{1}{4}$
Dấu "=" khi $a=b=c=\frac{1}{3}$
- Le Tuan Canhh và ThienDuc1101 thích
Tất cả mọi thứ đều có thể chứng minh bằng Toán học
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh