CMR:
Nếu $p=3k+2$ là số nguyên tố thì $\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-...+\frac{1}{2k+1}\equiv 0(mod p)$
Nếu $p=3k+1$ là số nguyên tố thì $\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-...-\frac{1}{2k}\equiv 0(mod p)$
$\bullet$ Nếu $p=3k+2$:
Ta đã biết $\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{3k+1}\equiv 0\pmod p$.
Do đó ta chỉ cần chứng minh $2\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2k}\right)\equiv \frac{-1}{2k+2}+...+\frac{-1}{3k+1} \pmod p$
Hay $\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{k}\equiv \frac{-1}{2k+2}+\frac{-1}{2k+3}+...+\frac{-1}{3k+1}\pmod p$.
Mặt khác ta có $\frac{-1}{m}\equiv \frac{1}{p-m}\pmod p,\forall 1\leq m<p$.
Do đó $\frac{-1}{2k+2}+\frac{-1}{2k+3}+...+\frac{-1}{3k+1}\equiv \frac{1}{k}+...\frac{1}{1}\pmod p$.
Ta có đpcm.
Trường hợp kia thì chắc tương tự.
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh