Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm gtnn và gtln của $P=3a+2b+c$ biết $a^{2}+b^{2}+c^{2}+abc=4$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
Sangnguyen3

Sangnguyen3

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 222 Bài viết

$a,b,c \geq 0: \, a^{2}+b^{2}+c^{2}+abc=4$.Tìm gtnn và gtln của  $P=3a+2b+c$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 31-05-2022 - 01:25
Tiêu đề + LaTeX


#2
Hoang72

Hoang72

    Thiếu úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 539 Bài viết

$\bullet$ Tìm GTNN:

Dễ dàng nhận thấy $c\leq 2$.

Khi đó $(a+b+c)^2\geq (a+b)^2+c^2=a^2+b^2+c^2+2ab\geq a^2+b^2+c^2+abc=4\Rightarrow a+b+c\geq 2$

$\Rightarrow P\geq 2$. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=0;c=2$.

$\bullet$ Tìm GTLN: 

Xem $c$ là tham số, ta sẽ tìm số thực dương $k$ sao cho: $k(a^2+b^2+abc)-(3a+2b)^2$ là bình phương của một đa thức biến $a,b$.

Ta có $k(a^2+b^2+abc)-(3a+2b)^2=(k-9)a^2+(k-4)b^2+ab(kc-12)$.

Ta muốn có $k\geq 9$ và $(kc-12)^2=4(k-4)(k-9)\Leftrightarrow k=\frac{4(13-6c)}{4-c^2}$.

Dễ dàng biến đổi tương đương được $\frac{4(13-6c)}{4-c^2}\geq 9$.

Do đó $k(a^2+b^2+abc)\geq (3a+2b)^2$, với $k=\frac{4(13-6c)}{4-c^2}$.

Kết hợp với gt suy ra $(3a+2b)^2\leq k.(4-c^2)=4(13-6c)$.

Việc còn lại ta chỉ cần biến đổi tương đương chứng minh $\sqrt{4(13-6c)}+c\leq 2\sqrt{13}$. Công việc này khá đơn giản.

Ngoài ra, dựa trên lời giải này ta có thể đi chứng minh $(3a+2b)^2\leq 4(13-6c)$ bằng cách khác...






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh