$a,b,c \geq 0: \, a^{2}+b^{2}+c^{2}+abc=4$.Tìm gtnn và gtln của $P=3a+2b+c$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 31-05-2022 - 01:25
Tiêu đề + LaTeX
$a,b,c \geq 0: \, a^{2}+b^{2}+c^{2}+abc=4$.Tìm gtnn và gtln của $P=3a+2b+c$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 31-05-2022 - 01:25
Tiêu đề + LaTeX
$\bullet$ Tìm GTNN:
Dễ dàng nhận thấy $c\leq 2$.
Khi đó $(a+b+c)^2\geq (a+b)^2+c^2=a^2+b^2+c^2+2ab\geq a^2+b^2+c^2+abc=4\Rightarrow a+b+c\geq 2$
$\Rightarrow P\geq 2$. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=0;c=2$.
$\bullet$ Tìm GTLN:
Xem $c$ là tham số, ta sẽ tìm số thực dương $k$ sao cho: $k(a^2+b^2+abc)-(3a+2b)^2$ là bình phương của một đa thức biến $a,b$.
Ta có $k(a^2+b^2+abc)-(3a+2b)^2=(k-9)a^2+(k-4)b^2+ab(kc-12)$.
Ta muốn có $k\geq 9$ và $(kc-12)^2=4(k-4)(k-9)\Leftrightarrow k=\frac{4(13-6c)}{4-c^2}$.
Dễ dàng biến đổi tương đương được $\frac{4(13-6c)}{4-c^2}\geq 9$.
Do đó $k(a^2+b^2+abc)\geq (3a+2b)^2$, với $k=\frac{4(13-6c)}{4-c^2}$.
Kết hợp với gt suy ra $(3a+2b)^2\leq k.(4-c^2)=4(13-6c)$.
Việc còn lại ta chỉ cần biến đổi tương đương chứng minh $\sqrt{4(13-6c)}+c\leq 2\sqrt{13}$. Công việc này khá đơn giản.
Ngoài ra, dựa trên lời giải này ta có thể đi chứng minh $(3a+2b)^2\leq 4(13-6c)$ bằng cách khác...
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh