Chủ đề này có 2 trả lời

[DaiphongLT]

Cho $\Delta ABC$ nhọn nội tiếp đường tròn $(O)$ có $M, N$ lần lượt là các điểm chính giữa cung $\widehat{BC}$ lớn, nhỏ của $(O)$. $D$ là một điểm bất kì nằm trong $\Delta ABC$ và nằm trên phân giác $\widehat{BAC}$ của $\Delta ABC$. $T$ là điểm nằm trên $MD$ thỏa mãn $\widehat{TBD}=\widehat{TCD}$.
$a)$ Chứng minh trực tâm $H$ của $\Delta TDN$ nằm trên $BC$
$b)$ Gọi $K$ là giao điểm của $MD$ và $(BDC)$. $X$ là giao điểm hai tiếp tuyến tại $B$ và $C$ của $(BDC)$. Chứng minh $XK$ và $TN$ cắt nhau tại một điểm thuộc $(BDC)$.

 

[Hoang72]

Một bài khá hay:

a) $MD$ cắt lại $(O)$ tại $E$, cắt $BC$ tại $L$.

Gọi $C'$ đối xứng với $C$ qua $ME$.

Do $EM$ là phân giác của $\angle BEC$ nên $E,B,C'$ thẳng hàng.

Ta có $\angle TC'D=\angle TCD=\angle TBD$ nên $T,B,C',D$ đồng viên.

Dẫn đến $EB.EC=EB.EC'=ET.ED$.

$EN$ cắt $BC$ tại $F$ thì $\Delta ENC\backsim EBF(g.g)\Rightarrow EN.EF=EB.EC=ET.ED$.

Từ đó $T$ là trực tâm tam giác $DFN$ hay trực tâm của $\Delta TDN$ là $F\in BC$.

b) $FD$ cắt $TN$ tại $H$ thì $H\in (BCD)$.

Ta chỉ cần chứng minh $(BC,HK)=-1$.

Theo bổ đề cát tuyến: $\frac{EB}{EC}=\frac{LB}{LC}=\frac{KB}{KC}.\frac{DB}{DC}\Rightarrow \frac{KB}{KC}=\frac{EB.DC}{EC.BD}$.

Đồng thời $\Delta EBT\backsim \Delta EDC,\Delta ECT\backsim \Delta EDB$.

Do đó $\frac{EB}{EC}=\frac{BT}{ED}.\frac{ED}{CT}=\frac{BT}{CT}$.

Đường tròn đường kính $DT$ cắt lại $DB,DC$ theo thứ tự tại $U,V$ thì sử dụng phép vị tự quay ta được $\frac{HB}{HC}=\frac{BU}{CV}=\frac{BT}{CT}$.

Vậy $\frac{EB}{EC}=\frac{HB}{HC}$ hay $H,K,X$ thẳng hàng.

Note

Bài này dùng điểm $H$ trực tâm thành điểm $F$

Hình gửi kèm

• 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang72: 09-06-2022 - 10:30

[DaiphongLT]

Một bài khá hay:

a) $MD$ cắt lại $(O)$ tại $E$, cắt $BC$ tại $L$.

Gọi $C'$ đối xứng với $C$ qua $ME$.

Do $EM$ là phân giác của $\angle BEC$ nên $E,B,C'$ thẳng hàng.

Ta có $\angle TC'D=\angle TCD=\angle TBD$ nên $T,B,C',D$ đồng viên.

Dẫn đến $EB.EC=EB.EC'=ET.ED$.

$EN$ cắt $BC$ tại $F$ thì $\Delta ENC\backsim EBF(g.g)\Rightarrow EN.EF=EB.EC=ET.ED$.

Từ đó $T$ là trực tâm tam giác $DFN$ hay trực tâm của $\Delta TDN$ là $F\in BC$.

b) $FD$ cắt $TN$ tại $H$ thì $H\in (BCD)$.

Ta chỉ cần chứng minh $(BC,HK)=-1$.

Theo bổ đề cát tuyến: $\frac{EB}{EC}=\frac{LB}{LC}=\frac{KB}{KC}.\frac{DB}{DC}\Rightarrow \frac{KB}{KC}=\frac{EB.DC}{EC.BD}$.

Đồng thời $\Delta EBT\backsim \Delta EDC,\Delta ECT\backsim \Delta EDB$.

Do đó $\frac{EB}{EC}=\frac{BT}{ED}.\frac{ED}{CT}=\frac{BT}{CT}$.

Đường tròn đường kính $DT$ cắt lại $DB,DC$ theo thứ tự tại $U,V$ thì sử dụng phép vị tự quay ta được $\frac{HB}{HC}=\frac{BU}{CV}=\frac{BT}{CT}$.

Vậy $\frac{EB}{EC}=\frac{HB}{HC}$ hay $H,K,X$ thẳng hàng.

Note

Bài này dùng điểm $H$ trực tâm thành điểm $F$

Cách giải ý $a)$ khá hay, cách của anh thì khá dài vì anh dùng luôn cả điểm $H$ (trong hình vẽ của Hoang72) để chứng minh câu $a)$
Thật ra đây là bài anh mở rộng từ bài hình của đề Arab Saudi TST 2016. Sau đây là bài toán gốc
Cho $\Delta ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Hai tiếp tuyến tại $B, C$ giao nhau tại $P$. Phân giác góc $A$ cắt $(P, PB)$ tại điểm $E$ nằm trong $\Delta ABC$. Gọi $M, N$ là điểm chính giữa cung $BC$ và cung $BAC$. Đường tròn đường kính $BC$ cắt đoạn thẳng $EN$ tại $F$. Chứng minh rằng trực tâm $\Delta EFM$ nằm trên $BC$.