Chủ đề này có 3 trả lời

[supermember]

Cuối tuần làm nhẹ bài này nha anh em  

 

Cho hàm số $f: [0;1] \mapsto [0;1]$ thỏa mãn đồng thời $2$ điều kiện:

 

$1)$ Tồn tại $x_0 \in [0;1]$ thỏa mãn: $ f( x_0 ) \neq x_0$

 

$2)$ $f(f(x)+y) = f(x) + f(y)$ với mọi $x;y  \in [0;1]$ mà $ x+y  \in [0;1]$ và $ f(x)+y  \in [0;1]$

 

Hãy xây dựng ít nhất $1$ hàm số $f$ thỏa mãn bài toán. Và chứng minh rằng trong lớp hàm số $f$ thỏa mãn bài toán thì $f(0)$ luôn nhận giá trị không đổi, tính giá trị đó.

[nhungvienkimcuong]

Kiểm tra được hàm $f(x)=\left\{\begin{matrix}0,\quad \text{với}\ x=0\qquad\\ 1,\quad\text{với}\ 0<x\le 1\end{matrix}\right.$ thỏa đề.

 

Ta sẽ chứng minh $f(0)=0$ bằng phản chứng, giả sử $f(0)\neq 0$. Thay $x=y=0$ ta có $f(f(0))=2f(0)$, với $x=0$ thì $$f(f(0)+y)=f(0)+f(y)\quad (\ast)$$

Vì $0<f(0)\le 1$ nên tồn tại số nguyên dương $n$ sao cho $\frac{1}{n+1}<f(0)\le \frac{1}{n}$, hay nói cách khác $nf(0)\le 1$ và $(n+1)f(0)>1$.

Lần lượt thay $y$ bằng $f(0),\ 2f(0),\ \dots,\ (n-1)f(0)$ vào $(\ast)$ ta có

$$f(2f(0))=3f(0),\quad f(3f(0))=4f(0),\quad \dots,\quad f(nf(0))=(n+1)f(0)$$

Đẳng thức $f(nf(0))=(n+1)f(0)$ dẫn tới điều mâu thuẫn.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhungvienkimcuong: 17-06-2022 - 08:03

[supermember]

 

Lần lượt thay $y$ bằng $f(0),\ 2f(0),\ \dots,\ (n-1)f(0)$ vào $(\ast)$ ta có

 

 

Cái chỗ thay này không hợp lý nha, do với $n$ đủ lớn thì $(n-1)f(0) $ có thể lớn hơn $1$ , trong khi $y \in [0;1]$ nên đâu có thay vậy được.

 

Đoạn sau có thể làm gọn gàng như sau:

 

Thay $y=0$ vào $(2)$ ta có: $f(f(x)) = f(x) +f(0)$ với mọi $ x \in [0;1]$

 

Bằng quy nạp thì ta chứng minh được $ f^n (x) = f(f(...(f(x))...)) $ ($n$ lần lặp $f$) $= f(x) + (n-1)f(0)$ với mọi $n \in \mathbb{N}^{*}$

 

Do đó nếu $f(0)$ lớn hơn $0$ thì khi cố định $ x \in [0;1]$ , và cho $n$ chạy ra vô cùng thì rõ ràng $f^n (x)$ tiến dần ra vô cùng, vô lý , vì $f^n (x) \in [0;1]$ với mọi $n \in \mathbb{N}^{*}$

 

Điều mâu thuẫn này chứng tỏ $f(0)$ chỉ có thể nhận giá trị bằng $0$ và bài toán được giải quyết hoàn toàn.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi supermember: 16-06-2022 - 23:25

[nhungvienkimcuong]

Cái chỗ thay này không hợp lý nha, do với $n$ đủ lớn thì $(n-1)f(0) $ có thể lớn hơn $1$ , trong khi $y \in [0;1]$ nên đâu có thay vậy được.

Đó là em viết theo dòng suy nghĩ của bản thân nên chưa được phù hợp với giả thiết lắm, đảo câu tí là oke