Chủ đề này có 6 trả lời

[supermember]

Cuối tuần thư giãn nhẹ nhàng:

 

Tính số phương án bỏ $11$ cái bút chì màu khác màu nhau vào $4$ hộp đựng bút đánh số $1 ; 2 ; 3 ; 4$ sao cho mỗi hộp có ít nhất $2$ cây bút.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi supermember: 12-06-2022 - 23:32

[Nobodyv3]

Hey Brother, long time no see.
The result is 1367520. Is it correct?

[Baoriven]

Chắc là dùng hàm sinh mũ á!

Hàm sinh 

$$ g(x)=(\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^3}{3!}+\dots)^4 = (e^x-1-x)^4.$$

Chỉ cần tính $(e^x-1-x)^2= \dfrac{1}{4} x^{4}+\dfrac{1}{6} x^{5}+\dfrac{5}{72} x^{6}+\dfrac{1}{45} x^{7} + O(x^8)$.

Rồi lấy khúc đầu bình phương lên tiếp, được: 

$$ \frac{x^{14}}{2025}+\frac{x^{13}}{324}+\frac{317 x^{12}}{25920}+\frac{37 x^{11}}{1080}+\frac{x^{10}}{16}+\frac{x^{9}}{12}+\frac{x^{8}}{16}.$$

Kết quả sẽ là $11!$ nhân hệ số của  $x^{11}$ là: 

$$ 11!.\dfrac{37}{1080}=1367520. $$

[Nobodyv3]

Nhưng bạn em lại lý giải như sau :
Trước hết,cho mỗi hộp 2 cây,còn lại 3 cây tiếp tục cho vào 4 hộp mà không có ràng buộc gì. Do đó số PA thực hiện là :
$ \binom{11}{2,2,2,2}\cdot 4^{3}$
Lời giải này chắc là sai, mà sai chỗ nào vậy các bạn?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv3: 15-06-2022 - 17:01

[chanhquocnghiem]

Nhưng bạn em lại lý giải như sau :
Trước hết,cho mỗi hộp 2 cây,còn lại 3 cây tiếp tục cho vào 4 hộp mà không có ràng buộc gì. Do đó số PA thực hiện là :
$ \binom{11!}{2,2,2,2}\cdot 4^{3}$
Lời giải này chắc là sai, mà sai chỗ nào vậy các bạn?

Sai ở chỗ nào thì chắc bạn biết rồi, nhưng mà phải nói sao để bạn khác hiểu đây ?

------------------------------------------

Theo cách lý giải trên thì mỗi phương án phải trải qua 2 bước :

Bước 1 : Cho vào mỗi hộp $2$ cây.

Bước 2 : Cho $3$ cây còn lại vào các hộp một cách tùy ý.

 

Ta thử xét 1 phương án như sau :

Bước 1 : blue, red $\rightarrow 1$ ; white, green $\rightarrow 2$ ; yellow, black $\rightarrow 3$ ; orange, purple $\rightarrow 4$

Bước 2 : brown $\rightarrow 1$ ; pink $\rightarrow 2$ ; grey $\rightarrow 3$

Ta ký hiệu phương án này là $\left\{\begin{matrix}blue,red\rightarrow 1;white,green\rightarrow 2;yellow,black\rightarrow 3;orange,purple\rightarrow 4\\brown\rightarrow 1;pink\rightarrow 2;grey\rightarrow 3 \end{matrix}\right.$

Bây giờ xét thêm các "phương án khác"

$\left\{\begin{matrix}blue,brown\rightarrow 1;white,green\rightarrow 2;yellow,black\rightarrow 3;orange,purple\rightarrow 4\\red\rightarrow 1;pink\rightarrow 2;grey\rightarrow 3 \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix}red,brown\rightarrow 1;white,green\rightarrow 2;yellow,black\rightarrow 3;orange,purple\rightarrow 4\\blue\rightarrow 1;pink\rightarrow 2;grey\rightarrow 3 \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix}blue,red\rightarrow 1;white,pink\rightarrow 2;yellow,black\rightarrow 3;orange,purple\rightarrow 4\\brown\rightarrow 1;green\rightarrow 2;grey\rightarrow 3 \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix}blue,red\rightarrow 1;pink,green\rightarrow 2;yellow,black\rightarrow 3;orange,purple\rightarrow 4\\brown\rightarrow 1;white\rightarrow 2;grey\rightarrow 3 \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix}blue,brown\rightarrow 1;white,pink\rightarrow 2;grey,yellow\rightarrow 3;orange,purple\rightarrow 4\\red\rightarrow 1;green\rightarrow 2;black\rightarrow 3 \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix}brown,red\rightarrow 1;green,pink\rightarrow 2;grey,black\rightarrow 3;orange,purple\rightarrow 4\\blue\rightarrow 1;white\rightarrow 2;yellow\rightarrow 3 \end{matrix}\right.$

Dễ thấy tất cả các phương án trên (và còn nhiều phương án khác nữa) là một và đồng nhất với phương án đầu tiên. Do vậy, tính theo cách này sẽ bị trùng lặp rất nhiều.

[Nobodyv3]

@Chanhquocnghiem:
Đúng là em thấy bị overcounting, lúc đó em lúng túng để diễn đạt ý, rồi quên luôn. Giờ may mắn đã được anh giải thích rõ ràng, xin cám ơn anh.
Hơn nữa, em muốn post lên để các bạn tham gia mà nhờ đó mình sẽ học hỏi được nhiều ý tưởng hay, những lời giải đẹp.

[hxthanh]

Dành cho ai muốn dùng phương pháp “thủ công”
$\frac{4!}{3!1!}.\frac{(11)!}{2!2!2!5!}+\frac{4!}{2!1!1!}. \frac{(11)!}{2!2!3!4!} +\frac{4!}{1!3!}. \frac{(11)!}{2!3!3!3!}=1\,367\,520$