ĐKXĐ: $\frac{2}{y}-y^{2}\geq 0 \Leftrightarrow 0< y\leq \sqrt[3]{2}$
Từ PT (1) dễ dàng thấy : $x^{3}+x=1-3xy^{2}+\sqrt[3]{1-3xy^{2}}$ $\Leftrightarrow x=\sqrt[3]{1-3xy^{2}}\Leftrightarrow x^{3}+3xy^{2}=1$ ( 3 )
Đến đây ta có : $y^{2}=\frac{1-x^{3}}{3x}$ , vì $y^{2}\geq 0$ nên ta có ĐK của x là $0< x\leq 1$
Từ PT (2) $\Leftrightarrow y-\sqrt[3]{2-3x^{2}y}=\sqrt{\frac{2}{y}-y^{2}}-x\sqrt{3}$$\Leftrightarrow \frac{y^{3}-2+3x^{2}y}{y^{2}+y\sqrt[3]{2-3x^{2}y}+\sqrt[3]{(2-3x^{2}y)^{2}}}=\frac{\frac{2}{y}-y^{2}-3x^{2}}{\sqrt{\frac{2}{y}-y^{2}}+x\sqrt{3}}$
$\Leftrightarrow \frac{y^{3}-2+3x^{2}y}{y^{2}+y\sqrt[3]{2-3x^{2}y}+\sqrt[3]{(2-3x^{2}y)^{2}}}=\frac{2-y^{3}-3x^{2}y}{y(\sqrt{\frac{2}{y}-y^{2}}+x\sqrt{3})}$
$\Leftrightarrow (y^{3}-2+3x^{2}y)(\frac{1}{y^{2}+y\sqrt[3]{2-3x^{2}y}+\sqrt[3]{(2-3x^{2}y)^{2}}}+\frac{1}{y\sqrt{\frac{2}{y}-y^{2}}+x\sqrt{3}})=0$
Suy ra $y^{3}-2+3x^{2}y=0$ (4)
( với ĐK của x,y ta đã có dễ dàng CM cái cụm dài dài kia luôn > 0 )
Từ (3) , (4) ta có HPT : $\left\{\begin{matrix} x^{3}+3xy^{2}=1 & \\ y^{3}+3x^{2}y=2 & \end{matrix}\right.$
Áp dụng cộng vế- vế; và trừ vế vế ta có : $\left\{\begin{matrix} (x+y)^{3}=3 & \\ (x-y)^{3}=-1 & \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x+y=\sqrt[3]{3} & \\ x-y=-1 & \end{matrix}\right.$$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=\frac{\sqrt[3]{3}-1}{2} & \\ y=\frac{\sqrt[3]{3}+1}{2} & \end{matrix}\right.$