Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm giá trị lớn nhất của $P=x^5+y^5+z^5$.


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
Mawatari Tanaka

Mawatari Tanaka

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 18 Bài viết

Cho 3 số thực \(x,y,z\) thỏa mãn $x+y+z=0$ và $x^4+y^4+z^4=288$. Tìm giá trị lớn nhất của $P=x^5+y^5+z^5$.



#2
thanhng2k7

thanhng2k7

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 129 Bài viết

Ta có

$\sum x^{4}=288 \Leftrightarrow (x+y)^{4}+x^{4}+y^{4}=288 \Leftrightarrow (x^{2}+xy+y^{2})=144\Leftrightarrow x^{2}+xy+y^{2}=12$ ( do $x^{2}+y^{2}+xy\geq 0$ )

Khi đó

$P=x^{5}+y^{5}+z^{5}=(x+y)^{5}+z^{5}-5(x^{2}+xy+y^{2})xy(x+y)=z^{5}-z^{5}+60xyz=60(z^{2}-12)z=60z^{3}-720\leq 960$

Dấu "=" khi $(x,y,z)=(4,-2,-2)$ và các hoán vị 

( Thấy sai sai :) )


Tất cả mọi thứ đều có thể chứng minh bằng Toán học ;)


#3
Mawatari Tanaka

Mawatari Tanaka

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 18 Bài viết

Ta có

$\sum x^{4}=288 \Leftrightarrow (x+y)^{4}+x^{4}+y^{4}=288 \Leftrightarrow (x^{2}+xy+y^{2})=144\Leftrightarrow x^{2}+xy+y^{2}=12$ ( do $x^{2}+y^{2}+xy\geq 0$ )

Khi đó

$P=x^{5}+y^{5}+z^{5}=(x+y)^{5}+z^{5}-5(x^{2}+xy+y^{2})xy(x+y)=z^{5}-z^{5}+60xyz=60(z^{2}-12)z=60z^{3}-720\leq 960$

Dấu "=" khi $(x,y,z)=(4,-2,-2)$ và các hoán vị 

( Thấy sai sai :) )

Tại sao lại có $60z^3-720z \leq 960$ vậy bạn?


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mawatari Tanaka: 16-06-2022 - 10:31


#4
thanhng2k7

thanhng2k7

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 129 Bài viết

Tại sao lại có $60z^3-720z \leq 960$ vậy bạn?

Thì mik bảo thấy nó sai sai mà ( bấm mt nó ra thế :) , còn chx nghĩ ra hướng xử lí ntn )


Tất cả mọi thứ đều có thể chứng minh bằng Toán học ;)





2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh