Cho a, b, c là các số thực dương sao cho abc = 1.CMR:
$\frac{1}{(1+a)^{2}}+\frac{1}{(1+b)^{2}}+\frac{1}{(1+c)^{2}}+\frac{2}{(1+a)(1+b)(1+c)}\geq 1$
Đặt $a+b+c=p;ab+bc+ca=q;abc=r$ thì $r=1$ và $(a+1)(b+1)(c+1)=p+q+2$
Do đó $\frac{1}{(1+a)^{2}}+\frac{1}{(1+b)^{2}}+\frac{1}{(1+c)^{2}}+\frac{2}{(1+a)(1+b)(1+c)}\geqslant 1\Leftrightarrow (\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1})^2-2[\frac{1}{(a+1)(b+1)}+\frac{1}{(b+1)(c+1)}+\frac{1}{(c+1)(a+1)}]+\frac{2}{(1+a)(1+b)(1+c)}\geqslant 1\Leftrightarrow (\frac{q+2p+3}{q+p+2})^2-\frac{2(p+3)}{p+q+2}+\frac{2}{p+q+2}\geqslant 1\Leftrightarrow (1+\frac{p+1}{q+p+2})^2-\frac{2(p+3)}{p+q+2}+\frac{2}{p+q+2}\geqslant 1\Leftrightarrow 1+(\frac{p+1}{p+q+2})^2-\frac{2}{p+q+2}\geqslant 1\Leftrightarrow (p+1)^2\geqslant 2(p+q+2)\Leftrightarrow p^2\geqslant 2q+3(true)$
Vậy bất đẳng thức được chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$P= \sum\frac{1}{a^{2}+b^{2}} -\frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{12abc}$Bắt đầu bởi katcong, 31-05-2023 toanhoc, batdangthuc, cuctri và . |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\frac{a}{b+2c}+\frac{b}{c+2a}+\frac{c}{a+2b}\geq 1+\frac{(b-c)^{2}}{3(b+c)^{2}}$Bắt đầu bởi Sangnguyen3, 16-04-2022 batdangthuc |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
Tìm min của $S=\frac{1}{ab}+ab$Bắt đầu bởi Skai, 11-09-2021 batdangthuc |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
Bất đẳng thức AM-GMBắt đầu bởi Skai, 11-09-2021 batdangthuc |
|
|||
|
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Bất đẳng thức và cực trị →
Bất đẳng thứcBắt đầu bởi yungazier, 12-08-2021 batdangthuc, bdt |
|
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh