6 replies to this topic

[Nobodyv3]

Thể dục giữa tuần nhé.
1/ Tính số nghiệm nguyên của
$$\left |x_{1} \right |+\left |x_{2} \right |+...+\left |x_{k} \right |\leq n$$
2/ Tính số đa tập (multisets) có 10 phần tử được chọn từ tập $\left \{ 0,1,2,3,4 \right \}$
sao cho tổng các phần tử trong đa tập là 22.

Edited by Nobodyv3, 15-06-2022 - 08:44.

[perfectstrong]

Bạn có chắc đây là toán cho THCS không?

[Baoriven]

@@ Nếu sử dụng hàm sinh thì nên để ở Đại học luôn. 

Bài $1$ khá là khoai đấy. Phải chia ra $x_i$ full không âm và $x_i$ full dương.

Nên thay $x_i$ là số tự nhiên (không âm hoặc dương) để các bạn nhỏ dễ tiếp cận...

[Nobodyv3]

Thưa các anh, em thấy box Toán Rời rạc thì lủi vô! mà không để ý thuộc loại TH gì.Nếu sai vị trí nhờ các anh chuyển giúp. Xin cảm ơn ạ.
Còn về việc sử dụng kiến thức để giải quyết bài toán,theo em, thì thoải mái... Mọi cách tiếp cận từ sơ cấp hay cao cấp thậm chí siêu cấp...đều được hoan nghênh.

[perfectstrong]

Vậy mình sẽ chuyển qua bên Olympic nhé.

[Nobodyv3]

@Perfectstrong:Vâng,cám ơn anh rất nhiều. Nhưng em ngại là... level của các bài này có đủ tầm ở Box này không anh?
@Baoriven: Hạ bút hai bài này đi anh!

Edited by Nobodyv3, 15-06-2022 - 23:47.

[Nobodyv3]

Bài 1: dùng hàm sinh thì không rối lắm đâu anh!
Trước hết, thực hiện vài bước quen thuộc :
$\left |x_{1}  \right |+\left |x_{2}  \right |+...+\left |x_{k}  \right |\leq n\Leftrightarrow \left |x_{1}  \right |+\left |x_{2}  \right |+...+\left |x_{k}  \right |+x_{k+1}   =n$ trong đó $x_{k+1}\geq 0$.
và thiết lập được hàm sinh như sau:
$f(x)=\left ( 1+2x+2x^2+2x^3+... \right )^{k}\frac{1}{1-x}= \left ( 1+\frac{2x}{1-x} \right )^{k}\frac{1}{1-x}= \left ( 1+x \right )^k\frac{1}{\left (1-x  \right )^{k+1}}$
Suy ra :
$\left [ x^n \right ]f(x)=\left [ x^n \right ]\sum_{i=0}^{k}\binom{k}{i}x^i\sum_{j=0}^{\infty }
\binom{k+j}{k} x^j=\left [ x^n \right ]\sum_{j=0}^{\infty }
\binom{k+n-i}{k}x^j \sum_{i=0}^{k}\binom{k}{i}x^{i}$
Vậy số nghiệm nguyên của BPT đã cho là
$\boxed {\sum_{i=0}^{k}\binom{k}{i}\binom{k+n-i}{k}}$