Tiến thêm 1 bước nữa (lập công thức tổng quát):
*Tính số nghiệm của phương trình $$ x_{1}+x_{2}+...+x_{k}=n$$
với $0\leq x_{i}\leq r$ và $
i\in \left \{ 1,2,...,k \right \} $ .
Ta có :
$f(z)=\sum_{x_{1}=0}^{r}\sum_{x_{2}=0}^{r}...\sum_{x_{k}=0}^{r}z^{x_{1}+x_{2}+...x_{k}}$
Gọi $N$ là số nghiệm thì :
$\Rightarrow N=\left [ z^{n} \right ]f(z)=\sum_{x_{1}=0}^{r}\sum_{x_{2}=0}^{r}...\sum_{x_{k}=0}^{r}\overbrace{\left [ z^{n} \right ]z^{x_{1}+x_{2}+...x_{k}}}^{A}$
Nhận thấy $A=1$ khi $x_{1}+x_{2}+...x_{k}=n$ và ngược lại thì $A=0$. Ta có :
$N=\left [ z^{n} \right ]\left ( \sum_{x=0}^{r} z^x\right )^{k}=\left [ z^{n} \right ]\left ( \frac{1-z^{r+1}}{1-z} \right )^{k}=\left [ z^{n} \right ]\left [ \sum_{i=0}^{k}\binom{k}{i} \left ( -z^{r+1} \right )^i\right ]\left [ \sum_{j=0}^{\infty } \binom{-k}{j}\left ( -z \right )^{j}\right ]=\\
\left [ z^{n} \right ]\sum_{i=0}^{k}\left ( -1 \right )^{i}\binom{k}{i}\sum_{j=0}^{\infty }\left [ \left ( -1 \right )^{j}\binom{k+j-1}{j}\left ( -1 \right )^{j} \right ]z^{\left ( r+1 \right )i+j}=\\
\sum_{i=0}^{k}\left ( -1 \right )^{i}\binom{k}{i}\sum_{j=0}^{\infty }\binom{k+j-1}{k-1}\left [\left [n= \left ( r+1 \right )i+j \right ] \right ]$
Ký hiệu $\left [ \left [ P \right ] \right ]=1$ nếu P đúng,ngược lại bằng 0. Tiếp tục :
$\sum_{i=0}^{k}\left (-1\right )^{i}\binom{k}{i}\sum_{j=0}^{\infty }\binom{k+j-1}{k-1}\left [\left [j=n- \left ( r+1 \right )i \right ] \right ]=\\
\sum_{i=0}^{k}\left ( -1 \right )^{i}\binom{k}{i}\binom{k+n-\left ( r+1 \right )i-1}{k-1}\left [\left [n-\left ( r+1 \right )i\geq 0 \right ] \right ]=\\
\sum_{i=0}^{k}\left ( -1 \right )^{i}\binom{k}{i}\binom{k+n-\left(r+1\right)i-1}{k-1}\left [\left [i\leq \frac{n}{r+1} \right ] \right ]\\
\Rightarrow N= \sum_{i=0}^{m}\left ( -1 \right )^{i}\binom{k}{i}\binom{k+n-\left (r+1\right )i-1}{k-1}$ với $\text{m=min}\left (k,\left \lfloor \frac{n}{r+1} \right \rfloor \right )$
Áp dụng vào bài của anh Baoriven với k=4, r=7, n=20 thì số nghiệm là:
$\binom{23}{3}-4\binom{15}{3}+6\binom{7}{3}=\boxed {161}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv3: 19-06-2022 - 18:35