Đại úy
Bài toán. (Sưu tầm) Cho $p$ là một số nguyên tố lớn hơn $3$, $n$ là số nguyên dương sao cho các số $p-1,p,n,n+1$ từng đôi một không có ước số chung lớn hơn $2$.Chứng minh rằng phương trình sau không có nghiệm nguyên dương $x,y$
$$x^{p-1}+x^{p-2}+...x+2=y^{n+1}$$
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức 
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
Thiếu úy
Bài toán. (Sưu tầm) Cho $p$ là một số nguyên tố lớn hơn $3$, $n$ là số nguyên dương sao cho các số $p-1,p,n,n+1$ từng đôi một không có ước số chung lớn hơn $2$.Chứng minh rằng phương trình sau không có nghiệm nguyên dương $x,y$
$$x^{p-1}+x^{p-2}+...x+2=y^{n+1}$$
Bài này tương tự ở đây. Trường hợp 2 thì xử lí như sau: Với $y-1\equiv 1\pmod{p}$ thì
$$y^n+y^{n-1}+\dots+1\equiv 2^n+2^{n-1}+\dots+1=2^{n+1}-1\pmod{p}.$$
Tới đây ta thấy rằng $\text{ord}_p(2)\mid n+1$, mặt khác $\text{ord}_p(2)\mid p-1$ nên
$$\text{ord}_p(2)\mid \gcd(n+1,p-1)\implies \text{ord}_p(2)\le \gcd(n+1,p-1)\le 2 .$$
Khi đó $p\le 2^{\text{ord}_p(2)}-1\le 2^2-1=3$ (mâu thuẫn với giả thiết $p>3$). Vậy không tồn tại $x,y$ thỏa đề.
Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra 
Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em 
Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh
0 thành viên, 3 khách, 0 thành viên ẩn danh
Community Forum Software by IP.Board
Licensed to: Diễn đàn Toán học
