Tìm min $(a+1)^{2} + \left (\frac{a^{2}}{a+1} +2 \right )^{2}$ với x khác -1
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Sangnguyen3: 29-06-2022 - 21:41
Tìm min $(a+1)^{2} + \left (\frac{a^{2}}{a+1} +2 \right )^{2}$ với x khác -1
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Sangnguyen3: 29-06-2022 - 21:41
$(a+1)^{2} + \left (\frac{a^{2}}{a+1} +2 \right )^{2} = \left ( a+1 \right )^{2} + \left ( a+1 +\frac{1}{a+1} \right )^{2}$
Đặt x= a+1 ( x khác 0)
$x^{2} + \left ( x+\frac{1}{x} \right )^{2} = 2x^{2} + \frac{1}{x^{2}} + 2 \geq 2\sqrt{2} + 2 $
Dấu bằng xảy ra khi $2x^{4}=1 <=> x^{2}=\sqrt{\frac{1}{2}} <=> x= \pm \sqrt[4]{\frac{1}{2}} <=> a=\pm \sqrt[4]{\frac{1}{2}}-1$
Cho $a,b,c > 0$ thỏa mãn $a+b+c=3$
Chứng minh rằng
$\sum \frac{1}{a^{2}+a} + \frac{9}{a\sqrt{a}+b\sqrt{b}+c\sqrt{c}}\geq \frac{9}{2}$
Áp dụng BĐT AM-GM, ta có $a\sqrt{a}\leq\frac{a+a^2}{2}$.Tương tự, ta có $\frac{9}{a\sqrt{a}+b\sqrt{b}+c\sqrt{c}}\geq \frac{18}{a^2+a+b^2+b+c^2+c}$
Mặt khác, áp dụng BĐT C-S, ta có $\frac{1}{a^2+a}+\frac{1}{b^2+b}+\frac{1}{c^2+c}\geq \frac{9}{a^2+b^2+c^2+a+b+c}$
Khi đó, ta có BĐT cần cm xảy ra <=> $\frac{27}{a^2+b^2+c^2+a+b+c}\geq \frac{9}{2}\Leftrightarrow$ (1)
Mà $a+b+c=3$
Ta có (1) xảy ra <=> $a^2+b^2+c^2+3\geq 6\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\geq 3$
Luôn đúng do $a^2+b^2+c^2\geq \frac{(a+b+c)^2}{3}=3$
Dấu = xảy ra <=> $a=b=c=1$
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh