Mình đi làm lâu quá không ôn bất đẳng thức, nay có người hỏi mà mình giải không ra, nhờ mọi người giúp với ạ.
Cho a, b, c $\in \left[ -1,1 \right],\,a+b+c=0$. Chứng minh rằng
\[{{a}^{2}}+{{b}^{7}}+{{c}^{2022}}\le 2\]
Mình đi làm lâu quá không ôn bất đẳng thức, nay có người hỏi mà mình giải không ra, nhờ mọi người giúp với ạ.
Cho a, b, c $\in \left[ -1,1 \right],\,a+b+c=0$. Chứng minh rằng
\[{{a}^{2}}+{{b}^{7}}+{{c}^{2022}}\le 2\]
Từ giả thiết có : $\left ( a+1 \right )\left ( b+1 \right )\left ( c+1 \right )\geq 0 (1) $ và $\left ( 1-a \right )\left ( 1-b \right )\left ( 1-c \right )\geq 0 (2)$
Cộng (1) và (2) vế theo vế ta có $\Rightarrow 2\left ( ab+bc+ca \right )\geq -2\Rightarrow-2\left ( ab+bc+ca \right )\leq 2$
Mặt khác từ giả thiết $\Rightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}=-2\left ( ab+bc+ca \right )\leq 2$
Vì $-1\leq b\leq 1\Rightarrow 0\leq \left | b \right |\leq 1$
$\Rightarrow b^{7}\leq \left | b \right |^{7} \leq \left | b \right |^{2}=b^{2}$
Tương tự với $-1\leq c\leq 1 \Rightarrow c^{2022}\leq c^{2}$
$\Rightarrow VT\leq 2$
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\frac{19}{20} \leq \sum \frac{1}{1+a+b^2} \leq \frac{27}{20}$Bắt đầu bởi Duc3290, 12-03-2024 bất đẳng thức, hoán vị |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum a^2b + abc +\frac{1}{2}abc(3-\sum ab) \leq 4$Bắt đầu bởi Duc3290, 25-02-2024 bất đẳng thức, hoán vị |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum \frac{a_1{}}{({a_1+{a_2+...+a_n{}{}}{}})-{a_1{}}}\geq \frac{n}{n-1}$Bắt đầu bởi Khanh12321, 14-02-2024 bất đẳng thức |
|
|||
|
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Bất đẳng thức - Cực trị →
$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+3 \ge 2(a+b+c)$Bắt đầu bởi POQ123, 26-01-2024 bất đẳng thức |
|
||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum \frac{1}{\sqrt{a^{5}+b^{2}+ab+6}}\leq 1$Bắt đầu bởi Hahahahahahahaha, 21-01-2024 bất đẳng thức |
|
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh