Đến nội dung

Hình ảnh

Basel Problem $\sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n^2} $

- - - - - basel problem

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1
hxthanh

hxthanh

    Tín đồ $\sum$

  • Hiệp sỹ
  • 3916 Bài viết
Hãy giải quyết vấn đề Basel theo mọi cách bạn có thể nghĩ ra, càng “ảo” càng thú vị!
Chứng minh:
$$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} = \dfrac{\pi^2}{6}$$

#2
E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 3861 Bài viết

Cách giải sau đây em đọc ở trên mạng. Đây chắc là cách sơ cấp nhất

 

Trong mặt phẳng với điểm O cố định, dựng đường tròn $c_1$ tâm $I_1$, bán kính $r_1=OI_1=\dfrac{2}{\pi}$. Gọi $A_1^1A_2^1$ là đường kính của đường tròn $c_1$.

a.png

Khi đó: 

$$\dfrac{1}{{OI_1}^2}=\dfrac{1}{{OA_1^1}^2}+\dfrac{1}{{OA_2^1}^2}$$

 

Gọi $OI_2$ là một đường kính của $c_1$. Dựng đường tròn $c_2$ tâm $I_2$, bán kính $r_2=OI_2$. Các đường thẳng $I_2A_1^1$ và $I_2A_2^1$ cắt đường tròn $c_2$ tại bốn điểm $A_1^2,...,A_4^2$

b.png

Khi đó: 

$$\dfrac{1}{{OI_1}^2}=\dfrac{1}{{OA_1^1}^2}+\dfrac{1}{{OA_2^1}^2}=\sum_{i=1}^4 \dfrac{1}{{OA_i^2}^2}$$

 

Gọi $OI_3$ là một đường kính của $c_2$. Dựng đường tròn $c_3$ tâm $I_3$, bán kính $r_3=OI_3$. Các đường thẳng $I_3A_i^2$ cắt đường tròn $c_3$ tại tám điểm $A_1^3,...,A_8^3$

c.png
 

Khi đó: 

$$\dfrac{1}{{OI_1}^2}=\sum_{i=1}^8 \dfrac{1}{{OA_i^3}^2}$$

 

Ta được dãy các đường tròn $(c_n)$ với các điểm $A_i^n, i=1, ..., 2^n$ thỏa mãn điều kiện:

$1) r_{n+1}=2r_n, \forall n \geq 1$

$2) \widehat{A_i^{n+1} I_{n+1} A_{i+1}^{n+1}} = \frac{1}{2} \widehat{A_i^{n} I_{n} A_{i+1}^{n}}, \quad i = 1,2,..., 2^n -1, \quad \forall n \geq 1$

 

Do đó độ dài các cung $A_i^n A_{i+1}^n$ luôn không đổi và bằng 2.

 

Đồng thời ta cũng có:

$$ \dfrac{1}{{OI_1}^2}=\sum_{i=1}^{2^n} \dfrac{1}{{OA_i^n}^2} \quad \quad (1)$$

Cho $n \to + \infty$, đường tròn $c_n$ trở thành đường thẳng đi qua $O$ và vuông góc với $OI_1$, ta coi đó là một trục số gốc $O$, các điểm $A_i^n$ luôn cách nhau 2 đơn vị, trở thành các điểm $\pm 1, \pm 3, \pm 5, ...$

Khi đó $(1)$ trở thành:

$$\dfrac{\pi^2}{8}=\sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{1}{(2n-1)^2}=S_{le}$$

 

Chú ý rằng: 

$$S_{chan}=\sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{1}{(2n)^2}=\dfrac{1}{4} =\sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{1}{n^2}$$

Suy ra: 

$$\sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{1}{n^2}= \dfrac{4}{3} S_{le} =\dfrac{\pi^2}{6}$$


1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại 
http://Chúlùnthứ8.vn

5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.


#3
hxthanh

hxthanh

    Tín đồ $\sum$

  • Hiệp sỹ
  • 3916 Bài viết
Một lời giải rất đẹp @E. Galois. Lời giải này mang về năm 17xx bạn sẽ nổi tiếng hơn cả L. Euler đấy! Mặc dù là người đầu tiên công bố đáp án nhưng lời giải L. Euler cũng không sơ cấp như vậy!
Còn rất nhiều thứ “hay ho” quanh vấn đề này, các bạn thử khám phá xem nhé!

#4
perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản lý Toán Ứng dụng
  • 4991 Bài viết

Chứng minh mà thầy Thế tìm được có một người minh họa ở đây từ phương diện vật lý rất thú vị :D

 

Ngoài ra, còn có một cách giải của Cauchy được trình bày ở đây

Mặc dù rất phức tạp nhưng thực chất lại chỉ dùng các công cụ sơ cấp.


Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.

#5
Baoriven

Baoriven

    Thượng úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 1422 Bài viết

Mọi người có thể tham khảo thêm ở đây (Carnegie Mellon University): The Basel Problem - Numerous Proofs (cmu.edu) :D


$$\mathbf{\text{Every saint has a past, and every sinner has a future}}.$$


#6
hxthanh

hxthanh

    Tín đồ $\sum$

  • Hiệp sỹ
  • 3916 Bài viết

Mọi người có thể tham khảo thêm ở đây (Carnegie Mellon University): The Basel Problem - Numerous Proofs (cmu.edu) :D

Ý tưởng từ bài toán này rất nhiều
Hãy cố gắng tiếp cận bài toán theo cách của riêng mình… :)




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh