Basel Problem $\sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n^2} $
#1
Đã gửi 07-07-2022 - 18:32
Chứng minh:
$$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} = \dfrac{\pi^2}{6}$$
- Nesbit, supermember, E. Galois và 3 người khác yêu thích
#2
Đã gửi 09-07-2022 - 14:38
Cách giải sau đây em đọc ở trên mạng. Đây chắc là cách sơ cấp nhất
Trong mặt phẳng với điểm O cố định, dựng đường tròn $c_1$ tâm $I_1$, bán kính $r_1=OI_1=\dfrac{2}{\pi}$. Gọi $A_1^1A_2^1$ là đường kính của đường tròn $c_1$.
Khi đó:
$$\dfrac{1}{{OI_1}^2}=\dfrac{1}{{OA_1^1}^2}+\dfrac{1}{{OA_2^1}^2}$$
Gọi $OI_2$ là một đường kính của $c_1$. Dựng đường tròn $c_2$ tâm $I_2$, bán kính $r_2=OI_2$. Các đường thẳng $I_2A_1^1$ và $I_2A_2^1$ cắt đường tròn $c_2$ tại bốn điểm $A_1^2,...,A_4^2$
Khi đó:
$$\dfrac{1}{{OI_1}^2}=\dfrac{1}{{OA_1^1}^2}+\dfrac{1}{{OA_2^1}^2}=\sum_{i=1}^4 \dfrac{1}{{OA_i^2}^2}$$
Gọi $OI_3$ là một đường kính của $c_2$. Dựng đường tròn $c_3$ tâm $I_3$, bán kính $r_3=OI_3$. Các đường thẳng $I_3A_i^2$ cắt đường tròn $c_3$ tại tám điểm $A_1^3,...,A_8^3$
Khi đó:
$$\dfrac{1}{{OI_1}^2}=\sum_{i=1}^8 \dfrac{1}{{OA_i^3}^2}$$
Ta được dãy các đường tròn $(c_n)$ với các điểm $A_i^n, i=1, ..., 2^n$ thỏa mãn điều kiện:
$1) r_{n+1}=2r_n, \forall n \geq 1$
$2) \widehat{A_i^{n+1} I_{n+1} A_{i+1}^{n+1}} = \frac{1}{2} \widehat{A_i^{n} I_{n} A_{i+1}^{n}}, \quad i = 1,2,..., 2^n -1, \quad \forall n \geq 1$
Do đó độ dài các cung $A_i^n A_{i+1}^n$ luôn không đổi và bằng 2.
Đồng thời ta cũng có:
$$ \dfrac{1}{{OI_1}^2}=\sum_{i=1}^{2^n} \dfrac{1}{{OA_i^n}^2} \quad \quad (1)$$
Cho $n \to + \infty$, đường tròn $c_n$ trở thành đường thẳng đi qua $O$ và vuông góc với $OI_1$, ta coi đó là một trục số gốc $O$, các điểm $A_i^n$ luôn cách nhau 2 đơn vị, trở thành các điểm $\pm 1, \pm 3, \pm 5, ...$
Khi đó $(1)$ trở thành:
$$\dfrac{\pi^2}{8}=\sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{1}{(2n-1)^2}=S_{le}$$
Chú ý rằng:
$$S_{chan}=\sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{1}{(2n)^2}=\dfrac{1}{4} =\sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{1}{n^2}$$
Suy ra:
$$\sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{1}{n^2}= \dfrac{4}{3} S_{le} =\dfrac{\pi^2}{6}$$
- perfectstrong, hxthanh, nhungvienkimcuong và 1 người khác yêu thích
1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại http://Chúlùnthứ8.vn
5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.
#3
Đã gửi 09-07-2022 - 16:22
Còn rất nhiều thứ “hay ho” quanh vấn đề này, các bạn thử khám phá xem nhé!
- E. Galois và perfectstrong thích
#4
Đã gửi 09-07-2022 - 17:11
Chứng minh mà thầy Thế tìm được có một người minh họa ở đây từ phương diện vật lý rất thú vị
Ngoài ra, còn có một cách giải của Cauchy được trình bày ở đây
Mặc dù rất phức tạp nhưng thực chất lại chỉ dùng các công cụ sơ cấp.
- hxthanh yêu thích
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.
#5
Đã gửi 09-07-2022 - 19:19
Mọi người có thể tham khảo thêm ở đây (Carnegie Mellon University): The Basel Problem - Numerous Proofs (cmu.edu)
- hxthanh yêu thích
$$\mathbf{\text{Every saint has a past, and every sinner has a future}}.$$
#6
Đã gửi 09-07-2022 - 19:55
Ý tưởng từ bài toán này rất nhiềuMọi người có thể tham khảo thêm ở đây (Carnegie Mellon University): The Basel Problem - Numerous Proofs (cmu.edu)
Hãy cố gắng tiếp cận bài toán theo cách của riêng mình…
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh