$ I=\int_0^1 \dfrac{1}{\left\lfloor\frac{1}{x}\right\rfloor} dx $
#1
Đã gửi 07-07-2022 - 20:00
$$ I=\int_0^1 \dfrac{1}{\left\lfloor\frac{1}{x}\right\rfloor} dx $$
- Nesbit, E. Galois, perfectstrong và 1 người khác yêu thích
#2
Đã gửi 08-07-2022 - 15:09
Tích phân này không xác định đúng không thầy? Nếu chọn một dãy $(x_n) = \frac{1}{n}$ thì $I \ge \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{n}}$. Mà vế phải là tổng điều hòa nổi tiếng và không bị chặn trên, nên $I$ không xác định.
P/S: Chào mừng thầy Thanh quay lại
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.
#3
Đã gửi 08-07-2022 - 21:05
Hôm qua là ngày gì mà hai lão thành của VMF cùng quay lại một lúc thế này Anh em làm chầu chúc mừng thôi!!!
(Trước đây có cái icon cụng bia mà giờ lục không thấy, hôm nào phải cài lại mới được)
- perfectstrong và hxthanh thích
#4
Đã gửi 08-07-2022 - 21:29
Xét hàm số $f(x)=\dfrac{1}{\left\lfloor\frac{1}{x}\right\rfloor}$Tích phân này không xác định đúng không thầy? Nếu chọn một dãy $(x_n) = \frac{1}{n}$ thì $I \ge \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{n}}$. Mà vế phải là tổng điều hòa nổi tiếng và không bị chặn trên,…
Trên $(0,1]$
Với $\frac{1}{n+1}< x\le \frac{1}{n}\ \ (n\in\mathbb N^*)$
ta có: $n\le \frac{1}{x}< n+1 \Rightarrow f(x)=\frac{1}{n}$
…
P/s: Có vẻ Hân nhầm lẫn giữa tổng điều hoà với tích phân xác định thì phải. Vẽ thử đồ thị hàm $f(x)$ và tính tổng diện tích xem nào Còn vi phân $dx$ bỏ đâu rồi.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 08-07-2022 - 21:33
#5
Đã gửi 08-07-2022 - 21:59
Hôm qua là ngày gì mà hai lão thành của VMF cùng quay lại một lúc thế này Anh em làm chầu chúc mừng thôi!!!
(Trước đây có cái icon cụng bia mà giờ lục không thấy, hôm nào phải cài lại mới được)
Có cảnh anh Khuê nữa thì vui quá ấy chứ Cơ mà cụng bia trên diễn đàn toán có ổn không anh?
Xét hàm số $f(x)=\dfrac{1}{\left\lfloor\frac{1}{x}\right\rfloor}$
Trên $(0,1]$
Với $\frac{1}{n+1}< x\le \frac{1}{n}\ \ (n\in\mathbb N^*)$
ta có: $n\le \frac{1}{x}< n+1 \Rightarrow f(x)=\frac{1}{n}$
…
P/s: Có vẻ Hân nhầm lẫn giữa tổng điều hoà với tích phân xác định thì phải. Vẽ thử đồ thị hàm $f(x)$ và tính tổng diện tích xem nào Còn vi phân $dx$ bỏ đâu rồi.
Ái chà, chết thật Để em làm lại thầy ơi.
Chia $]0;1]$ thành các đoạn $U_n =\left] {\frac{1}{{n + 1}};\frac{1}{n}} \right] (\forall n \in N)$ thì ta có:
\[f\left( x \right) = \frac{1}{n}\forall x \in U_n \forall n \in N\]
Do đó, ta có:
\[I = \int_0^1 {f\left( x \right)dx} = \sum\limits_{n = 1}^\infty {\int_{{U_n}}^{} {f\left( x \right)dx} } = \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{n} \times \left( {\frac{1}{n} - \frac{1}{{n + 1}}} \right)} = \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{{{n^2}\left( {n + 1} \right)}}} \]
Ta biết chuỗi $\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{{{n^2}\left( {n + 1} \right)}}}$ tăng và bị chặn bởi $\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{{{n^3}}}} = \zeta \left( 3 \right)$ nên chuỗi này sẽ hội tụ.
Mỗi tội em chưa biết tính thế nào. WolframAlpha đưa ra số $\frac{{{\pi ^2}}}{6} - 1$ một cách ảo diệu
- E. Galois, hxthanh và nhungvienkimcuong thích
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.
#6
Đã gửi 08-07-2022 - 22:20
$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}-\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(n+1)}$
Cái tổng đầu là $\zeta(2)$, cái sau thấy rõ sai phân:
$\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$
…
P/s: Đôi khi ta lại nghiêm trọng hoá vấn đề…
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 08-07-2022 - 22:27
- perfectstrong yêu thích
#7
Đã gửi 08-07-2022 - 23:50
Thì đúng rồi đó!
$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}-\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(n+1)}$
Cái tổng đầu là $\zeta(2)$, cái sau thấy rõ sai phân:
$\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$
…
P/s: Đôi khi ta lại nghiêm trọng hoá vấn đề…
À nhỉ. Em kém tinh ý quá
- hxthanh yêu thích
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh