Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

$\sum \frac{a}{b+c}\geq ...$

bất đẳng thức nesbit dạng khác

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 7 trả lời

#1 spirit1234

spirit1234

    Thiếu úy

  • Điều hành viên THCS
  • 544 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\mathbb{Z}$
  • Sở thích:$\text{Hình học}$

Đã gửi 07-04-2020 - 15:16

Mời mọi người chứng minh BĐT này:

Cho $a,b,c$ là độ dài 3 cạnh 1 tam giác.CMR: $\sum \frac{a}{b+c}\geq \frac{5\sqrt{2}-4}{2}$

 



#2 Peteroldar

Peteroldar

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 226 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:PUBG
  • Sở thích:PUBG, maths, and so on....

Đã gửi 07-04-2020 - 17:33

Bạn ơi cho $(a,b,c)=(1,1,1)$ thì bất đẳng thức không đúng nữa đâu :)



#3 spirit1234

spirit1234

    Thiếu úy

  • Điều hành viên THCS
  • 544 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\mathbb{Z}$
  • Sở thích:$\text{Hình học}$

Đã gửi 07-04-2020 - 20:44

Bạn ơi cho $(a,b,c)=(1,1,1)$ thì bất đẳng thức không đúng nữa đâu :)

Thế mới bảo là lạ; mình ko biết chứng minh; mình nghĩ BĐT đúng khi tam giác ko đều.

Anh mình nhìn đề bảo "Bài này mày làm theo phương pháp dồn biến cho anh; kiểu gì cũng ra"

Mình làm quen dồn biến làm mãi ko ra; bạn xem xem thế nào; thử xem có làm đc ko nha.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi spirit1234: 07-04-2020 - 20:48


#4 spirit1234

spirit1234

    Thiếu úy

  • Điều hành viên THCS
  • 544 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\mathbb{Z}$
  • Sở thích:$\text{Hình học}$

Đã gửi 07-04-2020 - 20:47

Thêm 1 câu nữa cũng khá độc đáo; thấy "là lạ" :

 Cho $a,b,c\epsilon [\frac{1}{3};3]$. CMR:$\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\geq \frac{7}{5}$


  • ANZ yêu thích

#5 spirit1234

spirit1234

    Thiếu úy

  • Điều hành viên THCS
  • 544 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\mathbb{Z}$
  • Sở thích:$\text{Hình học}$

Đã gửi 08-04-2020 - 21:17

Bài trên (bài thứ 2) mình làm bằng phương pháp dồn biến đc rồi; kết quả khá đặc biệt; các bạn xem có cách nào khác ko hộ mình nhé; còn cả bài thứ nhất nữa; các bạn làm hộ mình với.

Lời giải

Đặt $VT=F(a,b,c)$

Ko mất tính tổng quát; giả sử $a=max{a;b;c}$; ta có:

$F(a;b;\sqrt{ab})=\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+\sqrt{ab}}+\frac{\sqrt{ab}}{\sqrt{ab}+a}=\frac{a}{a+b}+\frac{2\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$

$\Rightarrow F(a;b;c)-F(a;b;\sqrt{ab})=\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}-\frac{2\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\frac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{ab}-c)^{2}}{(b+c)(c+a)(\sqrt{a}+\sqrt{b})}\geq 0$

$\Rightarrow F(a;b;c)\geq F(a;b;\sqrt{ab})$

Đặt $x=\sqrt{\frac{a}{b}}\leq 3$; ta có:

$F(a;b;\sqrt{ab})-\frac{7}{5}=\frac{a}{a+b}-\frac{2\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}-\frac{7}{5}=\frac{x^{2}}{x^{2}+1}+\frac{2}{x+1}-\frac{7}{5}=\frac{(3-x)[x^{2}+(1-x)^{2}]}{5(x^{2}+1)(x+1)}\geq 0$

=>đpcm.

Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow (a;b;c)=(3;\frac{1}{3};1)$ và các hoán vị của nó.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi spirit1234: 09-04-2020 - 09:26

  • ANZ yêu thích

#6 Peteroldar

Peteroldar

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 226 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:PUBG
  • Sở thích:PUBG, maths, and so on....

Đã gửi 09-04-2020 - 08:46

Annotation 2020-04-09 084237.png

Mời mọi người chứng minh BĐT này:

Cho $a,b,c$ là độ dài 3 cạnh 1 tam giác.CMR: $\sum \frac{a}{b+c}\geq \frac{5\sqrt{2}-4}{2}$

 

 

Với $(a,b,c)=(10000000,10000001,9999999)$ thì BĐT ko đúng nữa đâu :)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Peteroldar: 09-04-2020 - 08:48


#7 spirit1234

spirit1234

    Thiếu úy

  • Điều hành viên THCS
  • 544 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\mathbb{Z}$
  • Sở thích:$\text{Hình học}$

Đã gửi 09-04-2020 - 09:36

attachicon.gifAnnotation 2020-04-09 084237.png

 

Với $(a,b,c)=(10000000,10000001,9999999)$ thì BĐT ko đúng nữa đâu :)

Lầy lội rợ bạn;mà bạn dùng phần mềm gì để xác định cái đấy đấy.



#8 Peteroldar

Peteroldar

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 226 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:PUBG
  • Sở thích:PUBG, maths, and so on....

Đã gửi 09-04-2020 - 09:38

Lầy lội rợ bạn;mà bạn dùng phần mềm gì để xác định cái đấy đấy.

 

Mình dùng Wolfram để tính còn số mình tự đoán :)







Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: bất đẳng thức, nesbit dạng khác

0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh