Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
* * * * * 10 Bình chọn

[TOPIC] ÔN THI PHƯƠNG TRÌNH - HỆ PHƯƠNG TRÌNH $ \boxed{\text{THPT CHUYÊN}} $ NĂM HỌC 2019- 2020

tuyển sinh chuyên toán phương trình hệ phương trình

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 98 trả lời

#41 supreme king

supreme king

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 148 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Bình Định
  • Sở thích:Thích gì làm đấy

Đã gửi 12-04-2020 - 08:28

Bài31: giải phương trình: $(4x^2+1)x=(3-x)\sqrt{5-2x}$(1)

Đkxđ:$x\leq\frac{5}{2}$

Khi đó:(1)$\Leftrightarrow 2x(4x^2+1)=(5-2x+1)\sqrt{5-2x}$(2)

Đặt:$a=2x;b=\sqrt{5-2x}$

Do đó:(2)$\Leftrightarrow a(a^2+1)=b(b^2+1)$

$\Leftrightarrow (a-b)(a^2+ab+b^2+1)=0$

$\Leftrightarrow a=b$ (vì $a^2+ab+b^2+1>0$)

 $\Leftrightarrow 2x=\sqrt{5-2x}$

$.$

$.$

$.$

Đến đây thì dễ rồi


All will be well if you use your mind for your decision, and mind only your decision

                                                                                                                 -Presh Talwalkar-


#42 supreme king

supreme king

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 148 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Bình Định
  • Sở thích:Thích gì làm đấy

Đã gửi 12-04-2020 - 08:40

Bài 32: Giải phương trình:

$(x^2+4)\sqrt{2x+4}=3x^2+6x-4$(*)

Đkxđ:$x\geq-2$

Ta xét 2 th:

TH1:$\sqrt{2x+4}-1=0$

Cái này dễ rồi

TH2:$\sqrt{2x+4}-1\neq0$

Khi đó: (*)$\Leftrightarrow (x^2+4)(\sqrt{2x+4}+1)=2x(2x+3)$

$\Leftrightarrow (x^2+4)\frac{2x+3}{\sqrt{2x+4}-1}=2x(2x+3)$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} 2x+3=0 \\  x^2+4=2x\sqrt{2x+4}-2x \end{array}\right.$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x=-\frac{3}{2} \\  (x-\sqrt{2x+4})^2=0 \end{array}\right.$

$.$

$.$

$.$

Đến đây thì dễ rồi

 

P/s:Bạn có thế ghi rõ việc giải pt ra đc ko, mình vẫn chưa hiểu đặt ẩn để làm gì

Cảm ơn Death Doctor đã góp ý   :D   :D
 
Mình xin sửa lại bài này một chút nhá:
 
ĐK: $x\geqslant \frac{-1}{8000}$
 
Có: $x^{2}-x-1000\sqrt{1+8000x}=1000$ (*)
 

Đặt $\sqrt{1+8000x} = y$ ($y\geqslant 0$) $\Rightarrow y^{2} = 1+8000x$ (1)

(*) $\Leftrightarrow x^{2}-x-1000y=1000$

$\Leftrightarrow x^{2}-x=1000(y+1)$ (2)

Từ (1) và (2) ta tạo dựng được 1 hệ phương trình... giải hệ đó ra là xong

 

 

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi supreme king: 12-04-2020 - 08:53

All will be well if you use your mind for your decision, and mind only your decision

                                                                                                                 -Presh Talwalkar-


#43 spirit1234

spirit1234

    Thiếu úy

  • Điều hành viên THCS
  • 557 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\mathbb{Z}$
  • Sở thích:$\text{Hình học}$

Đã gửi 12-04-2020 - 15:56

Góp thêm mấy bài nữa (xin phép được tăng độ khó lên :icon6: ): 

$\boxed{\text{Bài 33}}$: Giải phương trình:

                                                          $(2x+3)\sqrt{4x^{2}+12x+11}+3x\sqrt{9x^{2}+2}=-5x-3$

 

$\boxed{\text{Bài 34}}$: Giải phương trình:

                                                          $(\frac{8x^{3}+2001}{2002})^{3}=4004x-2001$

 

*P/s:Bài 30 bạn Long Sei đặt ẩn để đưa về hệ phương trình giải đc đó bạn; mình nghĩ nếu bạn Long Sei đặt $2y-1=\sqrt{8000x+1}$ thì sẽ đưa về hệ phương trình đối xứng loại 2 dễ giải hơn: HPT: $$\left\{\begin{matrix} (2y-1)^2=8000x+1 \\ (2x-1)^2=8000y+1 \end{matrix} \right.$$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi spirit1234: 13-04-2020 - 22:08


#44 Lovesha

Lovesha

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 6 Bài viết

Đã gửi 12-04-2020 - 21:07

Góp thêm mấy bài nữa (xin phép được tăng độ khó lên :icon6: ): 

$\boxed{\text{Bài 33}}$: Giải phương trình:

                                                          $(2x+3)\sqrt{4x^{2}+12x+11}+3x\sqrt{9x^{2}+2}=-5x-3$

 

$\boxed{\text{Bài 34}}$: Giải phương trình:

                                                          $(\frac{8x^{3}+2001}{2002})^{3}=4004x-2001$

 

*P/s:Bài 30 bạn Long Sei đặt ẩn để đưa về hệ phương trình giải đc đó bạn; mình nghĩ nếu bạn Long Sei đặt $2y-1=\sqrt{8000x+1}$ thì sẽ đưa về hệ phương trình đối xứng loại 2 dễ giải hơn: HPT: $$\left\{\begin{matrix} (2y-1)^2=8000x+1 \\ (2x-1)^2=8000y+1 \end{matrix} \right.$$

Em xin giải Bài 34


Đặt $2x=a, (\frac{8x^3+2001}{2002})^3=b$

Khi đó ta có hệ:

\left\{\begin{matrix} a^3=2002b-2001 \\ b^3=2002a-2001 \end{matrix} \right

Đến đây thì dễ rồi  :icon6:

 


			
		

 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Lovesha: 12-04-2020 - 21:13


#45 Long Sei

Long Sei

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 51 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hải Phòng
  • Sở thích:Hình học, Bất đẳng thức

Đã gửi 13-04-2020 - 21:39

Góp vui cho topic bài này 
$\boxed{\text{Bài 35}}$
$\left\{\begin{matrix} 4x^{3}-y^{3}+x+4y=0 \\ 10x^{2}-7xy+2y^{2}=9 \end{matrix}\right.$
 
 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Long Sei: 13-04-2020 - 21:39


#46 Long Sei

Long Sei

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 51 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hải Phòng
  • Sở thích:Hình học, Bất đẳng thức

Đã gửi 13-04-2020 - 22:07

Góp thêm mấy bài nữa (xin phép được tăng độ khó lên :icon6: ): 

$\boxed{\text{Bài 33}}$: Giải phương trình:

                                                          $(2x+3)\sqrt{4x^{2}+12x+11}+3x\sqrt{9x^{2}+2}=-5x-3$

 

 

Ta có: 

$(2x+3)\sqrt{4x^{2}+12x+11}+3x\sqrt{9x^{2}+2}=-5x-3$ (*)

Đặt a=2x+3, b=3x

(*) $\Leftrightarrow$ $a$$\sqrt{a^{2}+2}$ + $b$$\sqrt{b^{2}+2}$ + $a$ + $b$ = 0

$\Leftrightarrow$ \[(a+b)[\frac{(a-b)(a^{2}+b^{2}+2)}{\sqrt{(a^{2}+1)^{2}-1}-\sqrt{(b^{2}+1)^{2}-1}}+1] = 0\]

Ta thấy: $\frac{(a-b)(a^{2}+b^{2}+2)}{\sqrt{(a^{2}+1)^{2}-1}-\sqrt{(b^{2}+1)^{2}-1}}+1$ > 0 $\forall$ a,b

Suy ra $a=-b$

$\Leftrightarrow$ $2x+3+3x=0$

$\Leftrightarrow$ $x=\frac{-3}{5}$

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Long Sei: 13-04-2020 - 22:08


#47 spirit1234

spirit1234

    Thiếu úy

  • Điều hành viên THCS
  • 557 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\mathbb{Z}$
  • Sở thích:$\text{Hình học}$

Đã gửi 14-04-2020 - 15:29

Góp vui cho TOPIC vài bài vậy.

$\boxed{\text{Bài 36}}$: Giải hệ phương trình:

                                                             $$\left\{\begin{matrix} xy-3y=4x^2 \\ y^2+2y+7=7x^2+8x \end{matrix} \right.$$

$\boxed{\text{Bài 37}}$: Giải phương trình:

                                                             $$4x^2+24x+834=\frac{269\sqrt{269x+9}}{2}$$

$\boxed{\text{Bài 38}}$: Giải hệ phương trình:

                                                             $$\left\{\begin{matrix} \sqrt{x^2+2x+6}=y+1 \\ x^2+xy+y^2=7 \end{matrix} \right.$$

$\boxed{\text{Bài 39}}$: Giải phương trình:

                                                             $$2x^3+7x^2+5x+4=2(3x-1)\sqrt{3x-1}$$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi spirit1234: 19-04-2020 - 09:52


#48 thduong1509

thduong1509

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 62 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Thanh Hoá
  • Sở thích:Đu idol :))

Đã gửi 14-04-2020 - 20:16

Góp vui cho TOPIC vài bài vậy.

$\boxed{\text{Bài 36}}$: Giải hệ phương trình:

                                                             $$\left\{\begin{matrix} xy-3y=4x^2 \\ y^2+2y+7=7x^2+8x \end{matrix} \right.$$

 

Nhân pt (1) với 2 rồi trừ đi pt (2)

$x^{2}-8x-2xy+8y+y^{2}+7=0 <=> (x-y)^{2}-8(x-y)+7=0 <=>(x-y-7)(x-y-1)=0$

Đến đây dễ rồi.



#49 thduong1509

thduong1509

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 62 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Thanh Hoá
  • Sở thích:Đu idol :))

Đã gửi 14-04-2020 - 20:39

ĐK: $y\geq 1$
Bình phương (1) rồi trừ (2) ta đc:
$2x+6-xy-y^2=y^2+2y-6$
$\Leftrightarrow 2y^2+(x+2)y-2x-12=0$
Tính delta là ok.

 

 

$\boxed{\text{Bài 38}}$: Giải hệ phương trình:

                                                             $$\left\{\begin{matrix} \sqrt{x^2+2x+6}=y+1 \\ x^2+xy+y^2=7 \end{matrix} \right.$$

 



#50 thduong1509

thduong1509

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 62 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Thanh Hoá
  • Sở thích:Đu idol :))

Đã gửi 14-04-2020 - 20:43

 

$\boxed{\text{Bài 39}}$: Giải phương trình:

                                                             $$2x^3+7x^2+5x+4=2(3x-1)\sqrt{3x-1}$$

Bài này khó vì vô nghiệm. May mà từng làm hihi :v

Bình phương lên rồi thu được nhân tử chung là $x^{2}-x+2$ => pt vô nghiệm


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thduong1509: 14-04-2020 - 20:45


#51 le thi khuyen

le thi khuyen

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 10 Bài viết

Đã gửi 15-04-2020 - 10:14

Từ PT(1) ta có: $\Leftrightarrow 0=(2y-x)(\frac{1}{\sqrt{3y}+\sqrt{x+y}}+1)\Rightarrow 2y=x$

Thế $2y=x$ vào PT(2) ta có PT: $x^{4}-5x^{3}+8x^{2}-10x+4=0$

Giải PT trên ta tìm đc x rồi tìm đc y.

Vậy...

Giải tiếp theo bằng phương pháp tổng quát hả bạn?

Nghiệm xấu lắm!


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi le thi khuyen: 15-04-2020 - 10:14


#52 RyuseiKento

RyuseiKento

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 56 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Anime, Bóng đá, Hình học

Đã gửi 15-04-2020 - 15:19

Giải tiếp theo bằng phương pháp tổng quát hả bạn?

Nghiệm xấu lắm!

Bạn bấm máy tính sẽ ra nghiệm là: $2+\sqrt{2}$ hoặc $2-\sqrt{2}$ bạn ơi.

Nếu máy bạn là 580VNX thì có thể giải pt bậc 4 luôn, còn 570 thì dùng Shift Calc (Solve) nhé!


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi RyuseiKento: 15-04-2020 - 15:55


#53 thduong1509

thduong1509

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 62 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Thanh Hoá
  • Sở thích:Đu idol :))

Đã gửi 15-04-2020 - 15:29

 

Góp vui cho topic bài này 
$\boxed{\text{Bài 35}}$
$\left\{\begin{matrix} 4x^{3}-y^{3}+x+4y=0 \\ 10x^{2}-7xy+2y^{2}=9 \end{matrix}\right.$

 

Bài này tưởng khó mà dễ.

Từ pt (1): $y^{3}-4x^{3}=x+4y$

Nhân chéo (1) (2)

$46x^{3}+33x^{2}y-26xy^{2}-y^{3}=0 <=> (2x-y)(23x^{2}+28xy+y^{2})=0$

Đến đây chắc dễ gòy.



#54 RyuseiKento

RyuseiKento

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 56 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Anime, Bóng đá, Hình học

Đã gửi 15-04-2020 - 20:51

 

$\boxed{\text{Bài 39}}$: Giải phương trình:

                                                             $$2x^3+7x^2+5x+4=2(3x-1)\sqrt{3x-1}$$

 

Bài này khó vì vô nghiệm. May mà từng làm hihi :v

Bình phương lên rồi thu được nhân tử chung là $x^{2}-x+2$ => pt vô nghiệm

Bài này mình nghĩ bình phương lên hơi khủng :v. Tận bậc 6!!!

Cách 2: ĐK: $x\geq \frac{1}{3}$

Từ giả thiết $\Leftrightarrow$ $2(x^3+3x^2+3x+1)+(x^2-x+2)=2(\sqrt{3x-1})^3$

                   $\Leftrightarrow$ $2[(x+1)^3-(\sqrt{3x-1})^3]+(x^2-x+2)=0$

                   $\Leftrightarrow$ $2[(x+1-\sqrt{3x-1}][(x+1)^2+(x+1)(\sqrt{3x-1})+(3x-1)]+(x^2-x+2)=0$

                   $\Leftrightarrow$ $2[\frac{x^2-x+2}{(x+1)+\sqrt{3x-1}}].[(x+1)^2+(x+1)(\sqrt{3x-1})+(3x-1)]+(x^2-x+2)=0$

                   $\Leftrightarrow$ $(x^2-x+2).Q=0$

Dễ chứng minh:$ x^2-x+2 > 0$ và $Q > 0$ $\Rightarrow$ pt vô nghiệm 

Vậy ...


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi RyuseiKento: 16-04-2020 - 09:51


#55 spirit1234

spirit1234

    Thiếu úy

  • Điều hành viên THCS
  • 557 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\mathbb{Z}$
  • Sở thích:$\text{Hình học}$

Đã gửi 15-04-2020 - 21:12

$\boxed{\text{Bài 39}}$: Giải phương trình:

                                                             $$2x^3+7x^2+5x+4=2(3x-1)\sqrt{3x-1}$$

Những cách trên nếu không biết trước là vô nghiệm và biết trước nhân tử chung thì làm bài sẽ rất khó khăn.

Sau đây; mình xin phép làm theo cách của mình:

$\boxed{\text{Bài 39}}$:

$\text{Cách 3}$: Đặt $y=\sqrt{3x-1} (y\geq 0)$.

Khi đó ta có hệ: 

$$\left\{\begin{matrix} 2x^3+7x^2+5x+4=2y^3 \\ 3x-1=y^2 \end{matrix} \right.$$

Cộng theo vế 2 PT trên ta được:

$$2(x+1)^3+(x+1)^2=2y^3+y^2\Rightarrow y=x+1$$

=> Chỉ cần giải phương trình: $x+1=\sqrt{3x-1}$ là xong.

Và kết quả ra PTVN.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi spirit1234: 15-04-2020 - 21:12


#56 thduong1509

thduong1509

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 62 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Thanh Hoá
  • Sở thích:Đu idol :))

Đã gửi 16-04-2020 - 10:29

Topic im ắng quá bonus thêm 

$\boxed{\text{Bài 40}}$ $\left\{\begin{matrix} 8xy+22y+12x+25=\frac{1}{x^{3}} & & \\ y^{3}+3y=(x+5)\sqrt{x+2} & & \end{matrix}\right.$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thduong1509: 16-04-2020 - 10:30


#57 RyuseiKento

RyuseiKento

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 56 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Anime, Bóng đá, Hình học

Đã gửi 17-04-2020 - 00:04

Góp vài bài cho Topic:

$\boxed{\text{Bài 41}}$:Giải phương trình:

                                                              $\frac{\sqrt{27+x^2+x}}{2+\sqrt{5-(x^2+x)}}=\frac{\sqrt{27+2x}}{2+\sqrt{5-2x}}$

Nguồn

$\boxed{\text{Bài 42}}$:Giải phương trình:

                                                              $\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}+\frac{2x+6}{(\sqrt{x-1}+\sqrt{x+3})^2}=2$

Nguồn

$\boxed{\text{Bài 43}}$:Giải hệ phương trình:

                                                              $\left\{\begin{matrix} x-y\sqrt{2-x} +2y^2=2 \\ 2(\sqrt{x+2}-4y)+8\sqrt{y(xy+2y)} =34-15x \end{matrix}\right.$

$\boxed{\text{Bài 44}}$:Giải hệ phương trình:

                                                              $\left\{\begin{matrix} 7\sqrt{x+1}-1=y(\sqrt{x+1}+1) \\ (x+1)y^2+y\sqrt{x+1}=13x+12 \end{matrix}\right.$

$\boxed{\text{Bài 45}}$:Giải phương trình:

                                                              $\sqrt{x^3-2x^2+2x}+3\sqrt[3]{x^2-x+1}+2\sqrt[4]{2x-x^4}=\frac{x^4-x^3}{2}+6$

Nguồn

$\boxed{\text{Bài 46}}$:Giải phương trình:

                                                              $3.\sqrt[3]{x^2-x+1}+\sqrt[4]{\frac{x^8+1}{2}}=2(x^4-3x+4)$

Nguồn


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi RyuseiKento: 17-04-2020 - 10:50


#58 spirit1234

spirit1234

    Thiếu úy

  • Điều hành viên THCS
  • 557 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\mathbb{Z}$
  • Sở thích:$\text{Hình học}$

Đã gửi 17-04-2020 - 08:27

$\boxed{\text{Bài 41}}$:Giải phương trình:

                                                              $\frac{\sqrt{27+x^2+x}}{2+\sqrt{5-(x^2+x)}}=\frac{\sqrt{27+2x}}{2+\sqrt{5-2x}}$

$\boxed{\text{Bài 41}}$: ĐK:..

+)Xét $$x^2+x>2x\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \sqrt{27+x^2+x}>\sqrt{27+2x} \\ \sqrt{5-(x^2+x)}<\sqrt{5-2x} \end{matrix} \right.$$

$\Rightarrow \frac{\sqrt{27+x^2+x}}{2+\sqrt{5-(x^2+x)}}>\frac{\sqrt{27+2x}}{2+\sqrt{5-2x}}$ (loại)

+)Xét $x^2+x<2x\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \sqrt{27+x^2+x}<\sqrt{27+2x} \\ \sqrt{5-(x^2+x)}<\sqrt{5-2x} \end{matrix} \right.$

$$\Rightarrow \frac{\sqrt{27+x^2+x}}{2+\sqrt{5-(x^2+x)}}<\frac{\sqrt{27+2x}}{2+\sqrt{5-2x}}$$ (loại)

$$\Rightarrow x^2+x=2x$$

$$\Rightarrow x=0;x=1$$

Vây...


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi spirit1234: 30-05-2020 - 05:45


#59 spirit1234

spirit1234

    Thiếu úy

  • Điều hành viên THCS
  • 557 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\mathbb{Z}$
  • Sở thích:$\text{Hình học}$

Đã gửi 17-04-2020 - 09:29

$\boxed{\text{Bài 37}}$: Giải phương trình:

                                                             $$4x^2+24x+834=\frac{269\sqrt{269x+9}}{2}$$

Bài này là do mình tự sáng tạo ra;dựa trên hệ số về ngày sinh tháng đẻ của mình (269) nên hệ số có hơi lẻ  :icon6:

Sau đây là lời giải.

$\boxed{\text{Bài 37}}$: Đặt $$2y+6=\sqrt{269x+9}$$ (ĐK:...)

Khi đó ta có HPT đối xứng dễ giải:

 $$\left\{\begin{matrix} (2y+6)^2=269x+9 \\ (2x+6)^2=269y+9 \end{matrix} \right.$$

Giải phương trình trên ta tìm đc x,y.

Vậy...



#60 supreme king

supreme king

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 148 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Bình Định
  • Sở thích:Thích gì làm đấy

Đã gửi 17-04-2020 - 09:51

$\boxed{\text{Bài 45}}$:Giải phương trình:

                                                              $\sqrt{x^3-2x^2+2x}+3\sqrt[3]{x^2-x+1}+2\sqrt[4]{2x-x^4}=\frac{x^4-x^3}{2}+6$

Nguồn

ĐK:...

Ta có

$VT\leq\frac{x^3-2x^2+2x+1}{2}+x^2-x+1+1+1+2.\frac{2x-x^4+1+1+1}{4}=\frac{x^3-x^4}{2}+x+5$

$\Leftrightarrow \frac{x^4-x^3}{2}+6\leq\frac{x^3-x^4}{2}+x+5$

$\Leftrightarrow x^4-x^3-x+1\leq0$

$\Leftrightarrow  0\leq(x-1)^2(x^2-x+1)\leq0$

$\Rightarrow x=1$

Vậy...


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi supreme king: 17-04-2020 - 10:21

All will be well if you use your mind for your decision, and mind only your decision

                                                                                                                 -Presh Talwalkar-






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh