Cho$\Delta ABC$, gọi $M,N$ là trung điểm $AC,AB$, $(ABM) \cap (CAN)=\left \{ P \right \}, AP\cap (AMN)=\left \{ Q \right \}$
Chứng minh $AQ=2QP$
Cho$\Delta ABC$, gọi $M,N$ là trung điểm $AC,AB$, $(ABM) \cap (CAN)=\left \{ P \right \}, AP\cap (AMN)=\left \{ Q \right \}$
Chứng minh $AQ=2QP$
$\left ( AMN \right )\cap CN=\left \{ D \right \};MD\cap (ABM)=\left \{ X \right \}$
$CN\cap BM=\left \{ G \right \}$
$S \in MC$ sao cho $\frac{SM}{SC}=\frac{1}{2}$
$\angle MDG=180-\angle BAM=\angle BXM \Rightarrow DG//BX \Rightarrow \frac{MD}{DX}=\frac{1}{2} \Rightarrow DS//XC$
$\angle APX = \angle XMC=\angle DMC=\angle ANC=\angle APC \Rightarrow$ $X,P,C$ thẳng hàng
$\angle AQD=\angle DMC=\angle APC \Rightarrow QD//PC \Rightarrow Q,D,S$ thẳng hàng
$\Rightarrow AQ=2QP$
$\Delta ABC$ nhọn , không cân và hình chữ nhật $MNPQ$ nội tiếp tam giác $\left ( M\in AB;N\in AC;P,Q\in BC \right )$ sao cho $\angle MNQ=\angle NMP=\frac{\angle A}{2}$
Đường thẳng qua $A$ vuông góc với $AB,AC$ lần lượt cắt $NP,MQ$ tại $K,L$
$BK\cap MQ=\left \{ E \right \},CL\cap NP=\left \{ F \right \}$
Chứng minh $: AE=AF$
Dễ thấy $A,L,M,I,N,K$ đồng viên với các đường kính là $MK,NL$
$MD\cap (AMN)=\left \{ U \right \},ND\cap (AMN)=\left \{ V \right \}$
Có các tứ giác $AIQB, AIPC$ nội tiếp $\Rightarrow DQ.DB=DI.DA=DU.DM \Rightarrow$ $MUQB$ nội tiếp
Tương tự $NVPC$ nội tiếp $\Rightarrow E,U,K$ và $F,V,L$ thẳng hàng
$\angle QED=\angle ABD=\angle QID \Rightarrow EQID$ nội tiếp , tương tự $PFID$ nội tiếp
$\Rightarrow \angle EID= \angle FID=90 \Rightarrow E,I,F$ thẳng hàng
Dễ có $\Delta EQF$ cân tại $D \Rightarrow Q.E.D$
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh