Chủ đề này có 4 trả lời

[Sangnguyen3]

Cho$\Delta ABC$, gọi $M,N$ là trung điểm $AC,AB$, $(ABM) \cap (CAN)=\left \{ P \right \}, AP\cap (AMN)=\left \{ Q \right \}$

Chứng minh $AQ=2QP$

[Sangnguyen3]

$\left ( AMN \right )\cap CN=\left \{ D \right \};MD\cap (ABM)=\left \{ X \right \}$

$CN\cap BM=\left \{ G \right \}$

$S \in MC$ sao cho $\frac{SM}{SC}=\frac{1}{2}$

$\angle MDG=180-\angle BAM=\angle BXM \Rightarrow DG//BX \Rightarrow \frac{MD}{DX}=\frac{1}{2} \Rightarrow DS//XC$

$\angle APX = \angle XMC=\angle DMC=\angle ANC=\angle APC \Rightarrow$  $X,P,C$ thẳng hàng
$\angle AQD=\angle DMC=\angle APC \Rightarrow QD//PC \Rightarrow Q,D,S$ thẳng hàng 
$\Rightarrow AQ=2QP$

Hình gửi kèm

• 

[Sangnguyen3]

$\Delta ABC$ nhọn , không cân và hình chữ nhật $MNPQ$ nội tiếp tam giác $\left ( M\in AB;N\in AC;P,Q\in BC \right )$ sao cho $\angle MNQ=\angle NMP=\frac{\angle A}{2}$

Đường thẳng qua $A$ vuông góc với $AB,AC$ lần lượt cắt $NP,MQ$ tại $K,L$

$BK\cap MQ=\left \{ E \right \},CL\cap NP=\left \{ F \right \}$

Chứng minh $: AE=AF$

[Sangnguyen3]

Dễ thấy $A,L,M,I,N,K$ đồng viên với các đường kính là $MK,NL$

$MD\cap (AMN)=\left \{ U \right \},ND\cap (AMN)=\left \{ V \right \}$

Có các tứ giác $AIQB, AIPC$ nội tiếp $\Rightarrow DQ.DB=DI.DA=DU.DM \Rightarrow$ $MUQB$ nội tiếp
Tương tự $NVPC$ nội tiếp $\Rightarrow E,U,K$ và $F,V,L$ thẳng hàng
$\angle QED=\angle ABD=\angle QID \Rightarrow EQID$ nội tiếp , tương tự $PFID$ nội tiếp 
$\Rightarrow \angle EID= \angle FID=90 \Rightarrow E,I,F$ thẳng hàng 

Dễ có $\Delta EQF$ cân tại $D \Rightarrow Q.E.D$

 

Hình gửi kèm

• 

[Duc91]

Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tâm O, các đường 

cao AD, BE, CF cắt nhau tại H và cắt đường tròn tâm O tại

D', E', F'.Gọi X là giao điểm của D'F' và AB, I là giao điểm 

D'E' và AC. Chứng minh: XI đi qua trực tâm H.