Chủ đề này có 1 trả lời

[Mawatari Tanaka]

Cho $P(x)$ là đa thức với hệ số nguyên với 4 số nguyên $a,b,c,d$ thỏa mãn $P(a)=P(b)=1$ và $P(c)=P(d)=-1$. Biết rằng $a<b,a<c$ và $c<d$, chứng minh rằng $a,b,c,d$ là 4 số nguyên liên tiếp.

[Hoang72]

Nhận thấy $a-c \mid P(a) - P(c)$.

Do đó $a-c\mid 2$, tương tự $a-d\mid 2; b-c\mid 2; b-d\mid 2$.

Do $a< c < d$ nên $a-c$ và $a-d$ âm, đồng thời $a-c > a-d$.

Suy ra $a-c = -1; a - d = -2\Rightarrow d = c + 1 = a + 2$.

Từ đó ta cũng có $b-d; b-c$ là hai ước của $2$ mà liên tiếp nhau; mà $b-c > a - c; b- d > a-d; b- c > b-d$ nên $b-c = 2; b - d = 1$

$\Rightarrow b = d + 1 = c + 2 = a+3$.

Vậy $a,c,d,b$ là 4 số nguyên liên tiếp.