1. Cho dãy số ${u_{n}}$ thỏa mãn điều kiện:
$$u_{n+2} = 2u_{n+1}+2u_{n}-u_{n-1}, n \in \mathbb{N^*}$$
Chứng minh rằng tồn tại hằng số nguyên M sao cho các số $M + 4u_{n+1}u_{n}$ đều là số chính phương
Ta sẽ tìm dãy $(x_n)$ thỏa mãn $M+4u_nu_{n+1}=x_n^2$ với mọi $n\ge 1$. Ta có $x_{n+1}^2-4u_{n+1}u_{n+2}=M=x_n^2-4u_nu_{n+1}$, suy ra
$$x_{n+1}^2=x_n^2+4u_{n+1}(u_{n+2}-u_n),\quad \forall n\ge 1.$$
Tới đây có vẻ no hope, nhưng khi viết lại đẳng thức trên thành
$$x_{n+1}^2=x_n^2+4u_{n+1}(u_{n+2}-u_{n+1}-u_n)+4u_{n+1}^2.\tag{$\ast$}$$
Ta dự đoán $x_n=u_{n+2}-u_{n+1}-u_n$, thay vào $(\ast)$ thì thu được biểu thức tương đương với giả thiết đề cho. Cũng đồng nghĩa là ra rồi
2. Cho dãy số nguyên dương ${u_{n}}$ thỏa mãn điều kiện: $u_{0}=20,\ u_{1}=100 $ và
$$u_{n+2} = 4u_{n+1} + 5u_{n} + 20, n \in \mathbb{N^*}$$
Tìm số nguyên dương h bé nhất có tính chất: $u_{n+h} - u_{n} \vdots 1998$.
Bạn tham khảo bài 14 ở đây (ấn vào chữ Bài sẽ truy cập vào link có lời giải).
P/s: Ngoài ra thì trong danh sách này của anh Huy có những bài cơ bản lẫn nâng cao, rất phù hợp cho việc tự học dạng "dãy số có tính chất số học".
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhungvienkimcuong: 27-07-2022 - 20:40