Đến nội dung

Hình ảnh

$u_{n+2} = 2u_{n+1}+2u_{n}-u_{n-1}, n \in \mathbb{N^*}$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
bimcaucau

bimcaucau

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 84 Bài viết

1. Cho dãy số ${u_{n}}$ thỏa mãn điều kiện:

$u_{n+2} = 2u_{n+1}+2u_{n}-u_{n-1}, n \in \mathbb{N^*}$

Chứng minh rằng tồn tại hằng số nguyên M sao cho các số $M + 4u_{n+1}u_{n}$ đều là số chính phương

 

2. Cho dãy số nguyên dương ${u_{n}}$ thỏa mãn điều kiện:

 
 $u_{0}=20 $
 $u_{1}=100 $
 $u_{n+2} = 4u_{n+1} + 5u_{n} + 20, n \in \mathbb{N^*}$
 
 
Tìm số nguyên dương h bé nhất có tính chất:
$u_{n+h} - u_{n} \vdots 1998$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bimcaucau: 26-07-2022 - 06:50


#2
nhungvienkimcuong

nhungvienkimcuong

    Thiếu úy

  • Hiệp sỹ
  • 669 Bài viết

1. Cho dãy số ${u_{n}}$ thỏa mãn điều kiện:

$$u_{n+2} = 2u_{n+1}+2u_{n}-u_{n-1}, n \in \mathbb{N^*}$$

Chứng minh rằng tồn tại hằng số nguyên M sao cho các số $M + 4u_{n+1}u_{n}$ đều là số chính phương

Ta sẽ tìm dãy $(x_n)$ thỏa mãn $M+4u_nu_{n+1}=x_n^2$ với mọi $n\ge 1$. Ta có $x_{n+1}^2-4u_{n+1}u_{n+2}=M=x_n^2-4u_nu_{n+1}$, suy ra

$$x_{n+1}^2=x_n^2+4u_{n+1}(u_{n+2}-u_n),\quad \forall n\ge 1.$$

Tới đây có vẻ no hope, nhưng khi viết lại đẳng thức trên thành

$$x_{n+1}^2=x_n^2+4u_{n+1}(u_{n+2}-u_{n+1}-u_n)+4u_{n+1}^2.\tag{$\ast$}$$

Ta dự đoán $x_n=u_{n+2}-u_{n+1}-u_n$, thay vào $(\ast)$ thì thu được biểu thức tương đương với giả thiết đề cho. Cũng đồng nghĩa là ra rồi  :D

 

2. Cho dãy số nguyên dương ${u_{n}}$ thỏa mãn điều kiện: $u_{0}=20,\ u_{1}=100 $ và

$$u_{n+2} = 4u_{n+1} + 5u_{n} + 20, n \in \mathbb{N^*}$$
Tìm số nguyên dương h bé nhất có tính chất: $u_{n+h} - u_{n} \vdots 1998$.

Bạn tham khảo bài 14 ở đây (ấn vào chữ Bài sẽ truy cập vào link có lời giải).

 

P/s: Ngoài ra thì trong danh sách này của anh Huy có những bài cơ bản lẫn nâng cao, rất phù hợp cho việc tự học dạng "dãy số có tính chất số học".


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhungvienkimcuong: 27-07-2022 - 20:40

Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra ~O) 
Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em :wub:
Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh :ukliam2:





2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh