Cho $(O)$ cố định ngoại tiếp tam giác nhọn $ABC$. Gọi $D$ là trung điểm $BC$. Trên $AB, AC$ lần lượt lấy $E,F$ sao cho $DE$ vuông $AC$ và $DF$ vuông $AB$.
a) Chứng minh tâm $(AEF)$ thuộc một đường tròn cố định khi $A$ di động và $B,C$ cố định trên $(O)$.
b) $(DEF)$ cắt $BC$ tại $G$. $AG$ cắt $(O)$ tại $M$. Đường cao đỉnh $A$ của tam giác $ABC$ cắt đường tròn $(O)$ tại $N$ ($N$ khác $A$) . Các tiếp tuyến tại $M , N$ của đường tròn $(O)$ cắt nhau tại $P$ . Các tiếp tuyến tại $B$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $BGM$ và tiếp tuyến tại $C$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $CGM$ cắt nhau tại $Q$ . Chứng minh $Q$ thuộc $(O)$.
c) Chứng minh giao điểm của $PQ$ và $AD$ nằm trên đường tròn $(O)$ .