Đến nội dung

Hình ảnh

CMR tồn tại i,j sao cho $10^{i}+10^{j}+1 \vdots 2003$

- - - - - tồn tại chia hết số học

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
Explorer

Explorer

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 155 Bài viết

Chứng minh rằng tồn tại i,j nguyên dương sao cho $10^{i}+10^{j}+1 \vdots 2003$



#2
Hoang72

Hoang72

    Thiếu úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 539 Bài viết

Bài này bạn chứng minh $\text{ord}_{10} 2003 = 1001$ rồi làm giống bài trong đề Brazil 2009.



#3
Explorer

Explorer

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 155 Bài viết

Bài này bạn chứng minh $\text{ord}_{10} 2003 = 1001$ rồi làm giống bài trong đề Brazil 2009.

bạn có link bài đấy ko? mik tìm r mà ko đc



#4
Hoang72

Hoang72

    Thiếu úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 539 Bài viết

Việc chứng minh $\text{ord}_{2003}10 = 1001$ thì mình chỉ mới dùng Wolfram Alpha kiểm tra và có vẻ đúng.

Sau đó thì làm như sau:

Đặt $t = 1001$.

Trước tiên, ta nhận xét không tồn tại $x\in\mathbb N; x \leq t$ mà $2003\mid 10^{x} + 1$.

Thật vậy, do $2003\mid 10^{2x} - 1$, theo tính chất cấp của số nguyên ta có $1001\mid 2x\Rightarrow 1001\mid x$, vô lí.

Tiếp theo, nhận thấy các số $10; 10^2;...;10^{t-1}; 10^t$ nhận $t$ số dư khác nhau khi chia cho $2003$.

Gọi $t$ số dư này lần lượt là $r_1,r_2,...,r_t$, và dễ thấy $r_i\not\in \{0; 2002\},\forall i=\overline{1,t}$.

Nếu tồn tại $r_j$ mà $r_j = 1001$ thì $2003\mid 10^j + 10^j + 1$.

Ngược lại, nếu không tồn tại $r_j$ thoả mãn thì $r_1,r_2,...,r_t\in \{1; 2; ...; 2001\} \setminus \{1001\}$.

Phân hoạch tập này thành $1000$ tập con $\{1; 2001\}, \{2; 2000\},..., \{1000;1002\}$, theo nguyên lí Dirichlet tồn tại $r_x,r_y$ thuộc cùng một tập. Khi đó $2003\mid 10^x + 10^y + 1$.

Ta có điều phải chứng minh.

 







Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: tồn tại, chia hết, số học

2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh