Đến nội dung

Hình ảnh

$an+1$ là scp thì $bn+1$ là scp. CM $a=b$

- - - - - nguyên dương tồn tại chính phương vô số

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
Explorer

Explorer

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 155 Bài viết

Cho a,b nguyên dương sao cho với mỗi n nguyên dương, nếu $an+1$ là số chính phương thì $bn+1$ cũng là số chính phương. CMR $a=b$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 10-08-2022 - 03:39
Tiêu đề + LaTeX


#2
nhungvienkimcuong

nhungvienkimcuong

    Thiếu úy

  • Hiệp sỹ
  • 669 Bài viết

Cho a,b nguyên dương sao cho với mỗi n nguyên dương, nếu $an+1$ là số chính phương thì $bn+1$ cũng là số chính phương. CMR $a=b$

Dễ thấy với $n$ có dạng $am^2+2m$ thì $an+1$ là số chính phương, do đó $P(m)=b(am^2+2m)+1$ cũng là số chính phương với mọi $m$.

 

Cách 1:

Một kết quả nổi bật trong đa thức đó là Bổ đề$^1$: Đa thức $P\in \mathbb{Z}[x]$ thỏa mãn có vô hạn số nguyên $m$ để $P(m)$ là số chính phương, khi đó tồn tại đa thức $Q\in \mathbb{Z}[x]$ sao cho $P(x)=(Q(x))^2$ với mọi $x$.

Dựa vào bổ đề này ta suy ra tồn tại các số nguyên $c,d$ sao cho

$$b(ax^2+2x)+1=(cx+d)^2,\quad \forall x\in \mathbb{R}.$$

Từ đây đồng nhất hệ số dễ dàng thu được $a=b$.

 

Cách 2:

Theo định lí Schur$^2$ dành cho đa thức $P$ thì tồn tại số nguyên tố $p>a+b$ sao cho $p$ là ước của $P(m_0)$ với $m_0$ là số nguyên nào đó, vì $P(m_0)$ là số chính phương nên $p^2\mid P(m_0)$. Ngoài ra

$$P(m_0+p)=P(m_0)+2bp(am_0+1)\equiv 2bp(am_0+1)\pmod{p^2}.$$

Từ hệ thức này ta thấy rằng $p\mid P(m_0+p)$, vì $P(m_0+p)$ là số chính phương nên 

$$p^2\mid P(m_0+p)\implies am_0\equiv -1\pmod{p}.$$

Do đó $0\equiv P(m_0)=am_0\cdot bm_0+2bm_0+1\equiv bm_0+1\pmod{p}$. Dẫn đến

$$am_0\equiv -1\equiv bm_0\pmod{p}\implies p\mid m_0(a-b).$$

Từ $p\nmid am_0$ suy ra $p\nmid m_0$, do đó $p\mid a-b$. Mà $p>a+b$ nên $a=b$.

 

Chú thích

  1. Có 2 cách chứng minh Bổ đề ở cách 1 trong đường link này (Bài 3).
  2. Chứng minh định lí Schur ở cách 2 có thể xem tại đây (Mục 3. Một số vấn đề cơ bản).

Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra ~O) 
Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em :wub:
Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh :ukliam2:


#3
DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Đại úy

  • ĐHV Toán Cao cấp
  • 1609 Bài viết

indeterminate


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DOTOANNANG: 06-11-2023 - 16:48


#4
nhungvienkimcuong

nhungvienkimcuong

    Thiếu úy

  • Hiệp sỹ
  • 669 Bài viết

Anh Phát ơi, đề bài có yếm trá gì không chứ em thấy là $a:= n+ 2, b:= 4\left ( n+ 1 \right )$ cũng thỏa.

$n$ thay đổi mà, còn $a,b$ cố định.


Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra ~O) 
Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em :wub:
Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh :ukliam2:






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: nguyên dương, tồn tại, chính phương, vô số

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh