Cho a,b nguyên dương sao cho với mỗi n nguyên dương, nếu $an+1$ là số chính phương thì $bn+1$ cũng là số chính phương. CMR $a=b$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 10-08-2022 - 03:39
Tiêu đề + LaTeX
Cho a,b nguyên dương sao cho với mỗi n nguyên dương, nếu $an+1$ là số chính phương thì $bn+1$ cũng là số chính phương. CMR $a=b$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 10-08-2022 - 03:39
Tiêu đề + LaTeX
Cho a,b nguyên dương sao cho với mỗi n nguyên dương, nếu $an+1$ là số chính phương thì $bn+1$ cũng là số chính phương. CMR $a=b$
Dễ thấy với $n$ có dạng $am^2+2m$ thì $an+1$ là số chính phương, do đó $P(m)=b(am^2+2m)+1$ cũng là số chính phương với mọi $m$.
Cách 1:
Một kết quả nổi bật trong đa thức đó là Bổ đề$^1$: Đa thức $P\in \mathbb{Z}[x]$ thỏa mãn có vô hạn số nguyên $m$ để $P(m)$ là số chính phương, khi đó tồn tại đa thức $Q\in \mathbb{Z}[x]$ sao cho $P(x)=(Q(x))^2$ với mọi $x$.
Dựa vào bổ đề này ta suy ra tồn tại các số nguyên $c,d$ sao cho
$$b(ax^2+2x)+1=(cx+d)^2,\quad \forall x\in \mathbb{R}.$$
Từ đây đồng nhất hệ số dễ dàng thu được $a=b$.
Cách 2:
Theo định lí Schur$^2$ dành cho đa thức $P$ thì tồn tại số nguyên tố $p>a+b$ sao cho $p$ là ước của $P(m_0)$ với $m_0$ là số nguyên nào đó, vì $P(m_0)$ là số chính phương nên $p^2\mid P(m_0)$. Ngoài ra
$$P(m_0+p)=P(m_0)+2bp(am_0+1)\equiv 2bp(am_0+1)\pmod{p^2}.$$
Từ hệ thức này ta thấy rằng $p\mid P(m_0+p)$, vì $P(m_0+p)$ là số chính phương nên
$$p^2\mid P(m_0+p)\implies am_0\equiv -1\pmod{p}.$$
Do đó $0\equiv P(m_0)=am_0\cdot bm_0+2bm_0+1\equiv bm_0+1\pmod{p}$. Dẫn đến
$$am_0\equiv -1\equiv bm_0\pmod{p}\implies p\mid m_0(a-b).$$
Từ $p\nmid am_0$ suy ra $p\nmid m_0$, do đó $p\mid a-b$. Mà $p>a+b$ nên $a=b$.
Chú thích
Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra
Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em
Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh
indeterminate
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DOTOANNANG: 06-11-2023 - 16:48
Anh Phát ơi, đề bài có yếm trá gì không chứ em thấy là $a:= n+ 2, b:= 4\left ( n+ 1 \right )$ cũng thỏa.
$n$ thay đổi mà, còn $a,b$ cố định.
Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra
Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em
Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh