Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
- - - - -

Giới hạn dãy số

giới hạn dãy số giải tích

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 9 trả lời

#1 IdolYSCandice

IdolYSCandice

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 16 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Ha Noi University of Science and Technology
  • Sở thích:Mathematic and History

Đã gửi 13-04-2020 - 00:54

Chứng minh các dãy số sau hội tụ và tìm  giới hạn (nếu có):

1) $u_{1}=1,u_{n+1}=1+\frac{1}{u_{n}}$

2)$x_{n}=(\frac{2n-1}{5n+1})^{n^2}$

3)$x_{n}=\frac{n}{\sqrt[n]{n!}}$

4)$x_{n}=\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+...\frac{1}{n}-ln(n)$

Các bạn có thể mail cho mình khi bạn có câu trả lời được chứ? Cảm ơn các bạn rất nhiều!


Thanh Hai Dang  - K59 Automatic Control - Hanoi University of Science and Technology.

Contact me: [email protected],com


#2 Heuristic

Heuristic

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 85 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 14-04-2020 - 04:08

1) Ta chứng minh bằng qui nạp rằng $2\geq u_i\geq 1$ với mọi $i\geq 1$. Từ đó suy ra dãy tăng và bị chặn, suy ra có giới hạn. Giả sử giới hạn là $u$, thế thì $1+\frac{1}{u}=1$ và $2\geq u\geq 1$, suy ra $u=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$.

 

2) $x_n=(\frac{2}{5})^{n^2}(1-\frac{2}{10n+2})^{n^2}$. $(1-\frac{2}{10n+2})^{n^2}$ bị chặn. $(\frac{2}{5})^{n^2}\rightarrow 0$. Do đó $x_n\rightarrow 0$.



#3 Heuristic

Heuristic

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 85 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 14-04-2020 - 04:19

4) Ta có $\frac{1}{n}\geq\int_n^{n+1}\frac{1}{x}=\log(n+1)-\log(n)\geq\frac{1}{n+1}$. Suy ra dãy của bạn là dãy giảm. Ngoài ra lấy tổng từ $1$ đến $n$ ta được $1+\dots+\frac{1}{n}\geq\log(n+1)\geq\frac{1}{2}+\dots+\frac{1}{n+1}$. Suy ra dãy số của bạn bị chặn dưới bởi $0$. Suy ra dãy này hội tụ về một số $\geq 0$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Heuristic: 14-04-2020 - 04:20


#4 Heuristic

Heuristic

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 85 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 14-04-2020 - 10:21

3) Xét $a_n=\log(\frac{n}{{}^n\sqrt{n!} })$. Ta có $a_n=\log n-\frac{1}{n}(\log 1+\dots+\log n)$.

 

Ta đánh giá $\int_2^n\log x dx\geq\log 1+\dots+\log n\geq \int_1^{n-1}\log x dx$, suy ra (nếu mình không nhầm):

 

$$1+\frac{2\log 2-2}{n}\geq a_n\geq 1-\frac{2}{n}+\frac{1}{n}\log(n-1)+\log(\frac{n}{n-1})$$

 

Vậy $\lim a_n=1$. Thế thì dãy đã cho có giới hạn bằng $e$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Heuristic: 14-04-2020 - 10:32


#5 IdolYSCandice

IdolYSCandice

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 16 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Ha Noi University of Science and Technology
  • Sở thích:Mathematic and History

Đã gửi 15-04-2020 - 12:10

1) Ta chứng minh bằng qui nạp rằng $2\geq u_i\geq 1$ với mọi $i\geq 1$. Từ đó suy ra dãy tăng và bị chặn, suy ra có giới hạn. Giả sử giới hạn là $u$, thế thì $1+\frac{1}{u}=1$ và $2\geq u\geq 1$, suy ra $u=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$.

 

2) $x_n=(\frac{2}{5})^{n^2}(1-\frac{2}{10n+2})^{n^2}$. $(1-\frac{2}{10n+2})^{n^2}$ bị chặn. $(\frac{2}{5})^{n^2}\rightarrow 0$. Do đó $x_n\rightarrow 0$.

xin chào, và cảm ơn bạn đã giúp đỡ mình!

1) Giả sử $u_{k+1}>u^{_{k}}$. Khi đó $u_{k+2}=1+\frac{1}{u_{k+1}}<1+\frac{1}{u_{k}}=u_{k+1}$

=> dãy đã cho không đơn điệu  :(


Thanh Hai Dang  - K59 Automatic Control - Hanoi University of Science and Technology.

Contact me: [email protected],com


#6 Heuristic

Heuristic

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 85 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 15-04-2020 - 13:05

xin chào, và cảm ơn bạn đã giúp đỡ mình!

1) Giả sử $u_{k+1}>u^{_{k}}$. Khi đó $u_{k+2}=1+\frac{1}{u_{k+1}}<1+\frac{1}{u_{k}}=u_{k+1}$

=> dãy đã cho không đơn điệu  :(

Cảm ơn bạn đã chỉ ra lỗi sai. Mình đã nhầm, dãy đã cho không đơn điệu.

 

Tuy nhiên, cũng nhờ nhận xét của bạn, ta có thể giải như sau: giả sử $u_{k+2}\geq u_{k}$. Khi đó $u_{k+3}\leq u_{k+1}$ và $u_{k+4}\geq u_{k+2}$. Tương tự cho trường hợp $u_{k+2}\leq u_{k}$. Vậy suy ra hai dãy $u_1,u_3,u_5,\dots$ và $u_2,u_4,u_6,\dots$ là $2$ dãy đơn điệu, bị chặn giữa $1$ và $2$. Giới hạn của mỗi dãy đều thỏa mãn phương trình $u=1+\frac{1}{1+\frac{1}{u}}$, suy ra hai dãy cùng có giới hạn là $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$. Vậy dãy đã cho hội tụ, và có giới hạn là $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$.

 

Rất mong được bạn kiểm tra lại.



#7 IdolYSCandice

IdolYSCandice

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 16 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Ha Noi University of Science and Technology
  • Sở thích:Mathematic and History

Đã gửi 15-04-2020 - 14:25

Cảm ơn bạn. Bạn có thể cho mình tài liệu về các bất đẳng thức bạn sử dụng được chứ? 


Thanh Hai Dang  - K59 Automatic Control - Hanoi University of Science and Technology.

Contact me: [email protected],com


#8 Heuristic

Heuristic

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 85 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 16-04-2020 - 02:29

Cảm ơn bạn. Bạn có thể cho mình tài liệu về các bất đẳng thức bạn sử dụng được chứ? 

Bất đẳng thức nào nhỉ? Mình hầu như chỉ sử dụng các bất đẳng thức đơn giản, thí dụ $f(x)\geq a$ với mọi $x\in(c,d)$ thì suy ra $\int f\geq a(d-c)$. Mình không có tài liệu gì đặc biệt.

 

Nếu là tài liệu về giải tích thì mình có biết quyển Principles of Mathematical Analysis, Walter Rudin, rất tiếc là bằng tiếng Anh. Ngoài ra thì có wikipedia, google, nhưng phải cẩn thận và kiểm tra lại... 

 

Bạn cứ sử dụng tài liệu mà thầy cô giới thiệu thôi, thế là chuẩn nhất rồi.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Heuristic: 16-04-2020 - 02:32


#9 IdolYSCandice

IdolYSCandice

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 16 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Ha Noi University of Science and Technology
  • Sở thích:Mathematic and History

Đã gửi 17-04-2020 - 16:53

Bất đẳng thức nào nhỉ? Mình hầu như chỉ sử dụng các bất đẳng thức đơn giản, thí dụ $f(x)\geq a$ với mọi $x\in(c,d)$ thì suy ra $\int f\geq a(d-c)$. Mình không có tài liệu gì đặc biệt.

 

Nếu là tài liệu về giải tích thì mình có biết quyển Principles of Mathematical Analysis, Walter Rudin, rất tiếc là bằng tiếng Anh. Ngoài ra thì có wikipedia, google, nhưng phải cẩn thận và kiểm tra lại... 

 

Bạn cứ sử dụng tài liệu mà thầy cô giới thiệu thôi, thế là chuẩn nhất rồi.

Hiện tại, mình đã tốt nghiệp nên phần tài liệu chủ yếu là do mình tự tìm kiếm lại. 


Thanh Hai Dang  - K59 Automatic Control - Hanoi University of Science and Technology.

Contact me: [email protected],com


#10 Heuristic

Heuristic

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 85 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 18-04-2020 - 03:28

Hiện tại, mình đã tốt nghiệp nên phần tài liệu chủ yếu là do mình tự tìm kiếm lại. 

Thế bạn thử nhớ lại xem trước đây bạn dùng giáo trình gì, hoặc là hỏi thầy cô xem có sách gì hay :)







Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: giới hạn, dãy số, giải tích

0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh