Đề chọn đội tuyển chuyên Nguyễn Du (Đăk Lăk) vòng 1 năm học 2022-2023
Bài 1 (6 điểm):
a) Giải phương trình $\sqrt{1+\sqrt{1-x^2}}=x\sqrt{1+2\sqrt{1-x^2}}$
b) Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix}x+\dfrac{2xy}{\sqrt[3]{x^2-2x+9}}=x^2+y\\ y+\dfrac{2xy}{\sqrt[3]{y^2-2y+9}}=y^2+x\end{matrix}\right.$
c) Tìm $lim u_n$ với $(u_n):\left\{\begin{matrix}u_1=3\\u_{n+1}^3-3u_{n+1} =\sqrt{2+u_n},\forall n\in \mathbb{N}^*\end{matrix}\right.$
Bài 2 (6 điểm):
a) Chứng minh rằng có vô hạn bộ ba số nguyên dương (x,y,z) thỏa mãn $x^{2023}+y^3=z^2$.
b) Kí hiệu $\left [ x \right ]$ là số nguyên lớn nhất không vượt quá x. Dãy số nguyên $(a_n)$ được xác định bởi $a_1=2$ và $a_{n+1}=\left [ \frac{3}{2}a_n \right ]$ với mọi $n\ge 1$. CMR có vô hạn số chẵn trong dãy $(a_n)$
c) Có bao nhiêu bộ bốn số nguyên $(x_1,x_2,x_3,x_4)$ sao cho $1\le x_1,x_2,x_3,x_4\le 6$; ngoài ta thì $x_1<x_2,x_2>x_3$ và $x_3<x_4$
Bài 3 (4 điểm):
Cho đường tròn tâm I bán kính r nội tiếp tam giác ABC có BC=a. Đường tròn (I) tiếp xúc BC tại D. Gọi M là trung điểm BC. Gọi $r_1,r_2$ lần lượt là bán kính các đường tròn nội tiếp tam giác ABM và tam giác ACM
a) CMR $\frac{r}{r_1}+\frac{r}{r_2}\ge 2\left ( 1+\frac{2r}{a} \right )$
b) CMR I,M và trung điểm AD thẳng hàng
Bài 4 (4 điểm):
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, H là trực tâm. Gọi $B_1$ là điểm đối xứng của B qua AC, $C_1$ là điểm đối xứng của C qua AB, E là giao điểm của $AB_1$ và CH, F là giao điểm của $AC_1$ và BH, I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $AB_1C_1$
a) CMR AI vuông góc với EF
b) Gọi O' là điểm đối xứng của O qua BC. CMR A,I,O' thẳng hàng
p/s: nát ((, bài 2c đáp số là bao nhiêu nhỉ :/