Đến nội dung

Hình ảnh

$\frac{1}{(y-z)^2} +\frac{1}{(x+y)^2}+\frac{1}{(x+z)^2} \ge 1$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1
Khai Hung

Khai Hung

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 52 Bài viết

Cho các số thực $x, y, z$ thỏa mãn $(x+y)(x+z)=4$. Chứng minh rằng $\frac{1}{(y-z)^2} +\frac{1}{(x+y)^2}+\frac{1}{(x+z)^2} \ge 1$



#2
Matthew James

Matthew James

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 106 Bài viết

Cho các số thực $x, y, z$ thỏa mãn $(x+y)(x+z)=4$. Chứng minh rằng $\frac{1}{(y-z)^2} +\frac{1}{(x+y)^2}+\frac{1}{(x+z)^2} \ge 1$

bài này em có nhầm đề không ? Đoạn $\frac{1}{(y-z)^2}$ là $\frac{1}{(y+z)^2}$ chứ ?


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Matthew James: 03-10-2022 - 21:36

Mathematics reveals its secrets only to those who approach it with pure love, for its own beauty. :D 


#3
Matthew James

Matthew James

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 106 Bài viết

Nếu

 

Cho các số thực $x, y, z$ thỏa mãn $(x+y)(x+z)=4$. Chứng minh rằng $\frac{1}{(y-z)^2} +\frac{1}{(x+y)^2}+\frac{1}{(x+z)^2} \ge 1$

 Nếu đăng bài về bất đẳng thức em nên đăng vào box Bất đẳng thức sẽ có nhiều anh/chị giỏi hơn hỗ trợ em


Mathematics reveals its secrets only to those who approach it with pure love, for its own beauty. :D 


#4
PDF

PDF

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 197 Bài viết

Cho các số thực $x, y, z$ thỏa mãn $(x+y)(x+z)=4$. Chứng minh rằng $\frac{1}{(y-z)^2} +\frac{1}{(x+y)^2}+\frac{1}{(x+z)^2} \ge 1$

$$VT=\frac{1}{(y-z)^{2}}+\frac{(y-z)^{2}}{(x+y)^{2}(x+z)^{2}}+\frac{1}{2}=\frac{1}{t^{2}}+\frac{t^{2}}{16}+\frac{1}{2}\geq 1.$$



#5
toanhoc9

toanhoc9

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 45 Bài viết

Cho các số thực $x, y, z$ thỏa mãn $(x+y)(x+z)=4$. Chứng minh rằng $\frac{1}{(y-z)^2} +\frac{1}{(x+y)^2}+\frac{1}{(x+z)^2} \ge 1$

Đặt x+y=a, x+z=b. Khi đó ta có: ab=4

 Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành: $\frac{1}{(a-b)^{2}}+\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}\geq 1$

Ta có: ab=4$\Rightarrow$ b=$\frac{4}{a}$

         $\Rightarrow \frac{1}{(a-b)^{2}}+\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}} =\frac{1}{(a-\frac{4}{a})^{2}}+\frac{1}{a^{2}}+\frac{a^{2}}{16} =\frac{a^{2}}{(a^{2}-4)^{2}}+\frac{1}{a^{2}}+\frac{a^{2}}{16} =\frac{a^{2}}{(a^{2}-4)^{2}}+\frac{(a^{2}-4)^{2}}{16a^{2}}+\frac{1}{2} =(\frac{a}{a^{2}-4}-\frac{a^{2}-4}{4a})^{2}+1\geq 1$

 Bạn làm nốt phần dấu "=" xảy ra khi nào nhé.

 Bất đẳng thức được chứng minh.






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh