Tìm $g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn:
$g(x-2y-2g(y))=5g(x)$ với mọi x,y thực
Tìm $g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn:
$g(x-2y-2g(y))=5g(x)$ với mọi x,y thực
Đặt $A= \{2x+2g(x)|x\in\mathbb R\}$.
$g(x-y)=5g(x),\forall x\in\mathbb R, y\in A$. $(*)$
Xét 2 trường hợp:
$\bullet$ $\exists m\in\mathbb R: \{m, -m\} \subset A$: Thay $y=-m$ vào $(*)$ ta có: $g(x+m) = 5g(x),\forall x\in\mathbb R$.
Thay $x$ thành $x+m$ và $y=m$ vào $(*)$ ta có: $g(x) = 5g(x+m),\forall x\in\mathbb R$.
Do đó $g(x) = 0 ,\forall x\in\mathbb R$. Thử lại ta thấy thoả mãn.
$\bullet$ $\forall m\in A, -m\not\in A$: Ta có $2g(x-y) + 2(x-y)\in A\Rightarrow 10g(x) + 2x - 2y\in A,\forall x\in\mathbb R,y\in A$.
Cho $x=y$ ta có $10g(y)\in A,\forall y\in\mathbb A$. $(1)$
Cũng có $10g(x) + 2x - 2y\in A,\forall x\in\mathbb R, y\in A$
$\Rightarrow 10g(x) + 2x - 2(10g(x) + 2x - 2y)\in A,\forall x\in\mathbb R,y\in A$
$\Rightarrow 4y - 2x - 10g(x)\in A,\forall x\in\mathbb R,y\in A$.
$\Rightarrow 4(2x + 2g(x)) - 2x - 10g(x)\in A,\forall x\in\mathbb R$
$\Rightarrow 6x - 2g(x)\in A,\forall x\in\mathbb R$.
Do đó $6(x-y) - 2g(x-y)\in A\Rightarrow 6(x-y) - 10g(x)\in A,\forall x\in\mathbb R,y\in A$. $(**)$
Cho $x=y$ ta có $-10g(y)\in A,\forall y\in A$. $(2)$
Từ $(1),(2)$ ta có $10g(y)$ và $-10g(y)$ đều thuộc $A$, vô lí với điều kiện của trường hợp này.
Vậy $g(x)= 0,\forall x\in\mathbb R$ là hàm duy nhất thoả mãn phương trình hàm đã cho.
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Phương trình hàm →
$f(x-f(y)) = f(f(y)) +x.f(y) + f(y) -1$Bắt đầu bởi noname0101, 21-02-2024 phương trình hàm |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Phương trình hàm →
$f(2x+3y)=2f(x)+3g(y)$Bắt đầu bởi duongnhi, 26-11-2023 phương trình hàm |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Phương trình hàm →
$f(3x+2y)=f(x)+2f(x+y)$Bắt đầu bởi duongnhi, 26-11-2023 phương trình hàm |
|
|||
Toán Đại cương →
Đại số đại cương →
Chứng minh tính chất của hợp 2 ánh xạBắt đầu bởi Thanh Lam 1514, 08-10-2023 đại số, ánh xạ |
|
|||
Toán Đại cương →
Đại số đại cương →
Tính số các toàn ánh từ tập m phần tử đến tập n phần tửBắt đầu bởi Explorer, 04-10-2023 đại số, tập hợp, toàn ánh và . |
|
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh