Cho $a,b,c$ là các số thực không âm thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=1$. Tìm Max $P= 2(b+c-a) + 9abc$
Edited by perfectstrong, 25-08-2022 - 12:46.
Tiêu đề + LaTeX
Cho $a,b,c$ là các số thực không âm thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=1$. Tìm Max $P= 2(b+c-a) + 9abc$
Edited by perfectstrong, 25-08-2022 - 12:46.
Tiêu đề + LaTeX
$P=2(b+c)+a(9bc-2)\leq 2\sqrt{2(b^{2}+c^{2})}+a(\frac{9(b^{2}+c^{2})}{2}-2)=2\sqrt{2(1-a^{2})}+a(\frac{9}{2}(1-a^{2})-2)=2\sqrt{2(1-a^{2})}-\frac{9}{2}a^{3}+\frac{5}{2}a$
Xét hàm $f(a)=2\sqrt{2(1-a^{2})}-\frac{9}{2}a^{3}+\frac{5}{2}a$ ; với $0\leq a\leq 1$
$\Rightarrow f'(a)=\frac{-4a}{\sqrt{2(1-a^{2})}}-\frac{27}{2}a^{2}+\frac{5}{2}$
$f'(a)=0 \Leftrightarrow a=\frac{1}{3}$
$\Rightarrow$ hàm f(a) đồng biến trên $[0;\frac{1}{3})$ và nghịch biến trên $(\frac{1}{3};1]$
$\Rightarrow$ $P\leq max f(a)=f(\frac{1}{3})=\frac{10}{3}$
Dấu "=" xảy ra khi $a=\frac{1}{3};b=c=\frac{2}{3}$
Edited by Le Tuan Canhh, 25-08-2022 - 20:19.
Dư Hấu
$P=2(b+c)+a(9bc-2)\leq 2\sqrt{2(b^{2}+c^{2})}+a(\frac{9(b^{2}+c^{2})}{2}-2)=2\sqrt{2(1-a^{2})}+a(\frac{9}{2}(1-a^{2})-2)=2\sqrt{2(1-a^{2})}-\frac{9}{2}a^{3}+\frac{5}{2}a$
Xét hàm $f(a)=2\sqrt{2(1-a^{2})}-\frac{9}{2}a^{3}+\frac{5}{2}a$ ; với $0\leq a\leq 1$
$\Rightarrow f'(a)=\frac{-4}{\sqrt{2(1-a^{2})}}-\frac{27}{3}a^{2}+\frac{5}{2}$
$f'(a)=0 \Leftrightarrow a=\frac{1}{\sqrt{3}}$
$\Rightarrow$ hàm f(a) đồng biến trên $[0;\frac{1}{\sqrt{3}})$ và nghịch biến trên $(\frac{1}{\sqrt{3}};1]$
$\Rightarrow$ $P\leq max f(a)=f(\frac{1}{\sqrt{3}})=\frac{5\sqrt{3}}{3}$
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$
Nhờ anh kiểm tra lại đạo hàm xem đúng chưa? Với lại đạo hàm bằng 0 tại x= ?$P=2(b+c)+a(9bc-2)\leq 2\sqrt{2(b^{2}+c^{2})}+a(\frac{9(b^{2}+c^{2})}{2}-2)=2\sqrt{2(1-a^{2})}+a(\frac{9}{2}(1-a^{2})-2)=2\sqrt{2(1-a^{2})}-\frac{9}{2}a^{3}+\frac{5}{2}a$
Xét hàm $f(a)=2\sqrt{2(1-a^{2})}-\frac{9}{2}a^{3}+\frac{5}{2}a$ ; với $0\leq a\leq 1$
$\Rightarrow f'(a)=\frac{-4}{\sqrt{2(1-a^{2})}}-\frac{27}{3}a^{2}+\frac{5}{2}$
$f'(a)=0 \Leftrightarrow a=\frac{1}{\sqrt{3}}$
$\Rightarrow$ hàm f(a) đồng biến trên $[0;\frac{1}{\sqrt{3}})$ và nghịch biến trên $(\frac{1}{\sqrt{3}};1]$
$\Rightarrow$ $P\leq max f(a)=f(\frac{1}{\sqrt{3}})=\frac{5\sqrt{3}}{3}$
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$
Cho $a,b,c$ là các số thực không âm thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=1$. Tìm Max $P= 2(b+c-a) + 9abc$
Bài này thật ra chính là đề thi học sinh giỏi gia nước mình năm 2002: Chứng minh rằng với ba số thực $a,b$ và $c$ bất kì thì
\[6(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)\le 27abc+10\sqrt{(a^2+b^2+c^2)^3}.\]
Bài này có rất nhiều cách chứng minh, có thể tham khảo 2 cách ở đây (Ví dụ 4 - trang 10).
Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra
Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em
Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh
Toán Trung học Cơ sở →
Đại số →
Tìm max $x^2+y^2$Started by tinhyeutoanhoc2k7, 09-04-2021 max |
|
|||
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Giải tích →
Hàm số - Đạo hàm →
Viết phương trình đường tròn đi qua A(2;-1) và tiếp xúc với trục Ox, OyStarted by Rhythme, 05-01-2019 hàm số, sự tương giao, lớp10 and 4 more... |
|
|||
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Bất đẳng thức và cực trị →
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức bằng bất đẳng thức CauchyStarted by Tantran2510, 05-11-2018 gtln, max |
|
|||
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Bất đẳng thức và cực trị →
$P=\sqrt{\frac{a}{a+1}}+\sqrt{\frac{b}{b+1}}+\sqrt{\frac{c}{c+1}}$Started by Khoa Linh, 06-06-2018 max, min |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$a^2 + b^2 + c^2 + abc = 4$Started by pmt22042003, 03-06-2018 bđt, max, min |
|
0 members, 1 guests, 0 anonymous users