Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm min $P=\frac{1}{(a+1)^{2}}+\frac{4}{(b+2)^{2}}+\frac{8}{(c+3)^{2}}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
Le Tuan Canhh

Le Tuan Canhh

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 226 Bài viết

CHo a,b,c $\geq 0$ thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}-3b\leq 0$. Tìm min $P=\frac{1}{(a+1)^{2}}+\frac{4}{(b+2)^{2}}+\frac{8}{(c+3)^{2}}$


Dư :unsure: Hấu   


#2
nhungvienkimcuong

nhungvienkimcuong

    Thiếu úy

  • Hiệp sỹ
  • 664 Bài viết

CHo a,b,c $\geq 0$ thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}-3b\leq 0$. Tìm min $P=\frac{1}{(a+1)^{2}}+\frac{4}{(b+2)^{2}}+\frac{8}{(c+3)^{2}}$

Dự đoán dấu bằng xảy ra khi $a=1,b=2,c=1$.

Cách 1.

Biến đổi tương đương chứng minh được $\frac{1}{(a+1)^2}\ge \frac{-a^2+3}{8}$ và $\frac{8}{(c+3)^2}\ge \frac{-c^2+5}{8}$. Do đó

\[P\ge \frac{-(a^2+c^2)}{8}+1+\frac{4}{(b+2)^2}\ge \underbrace{\frac{b^2-3b}{8}+1+\frac{4}{(b+2)^2}}_{f(b)}.\]

$\bullet$ Cách THCS

$\bullet$ Cách THPT

 

Cách 2.

Áp dụng liên tiếp bất đẳng thức $\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\ge \frac{8}{(x+y)^2}$ có được

$$P=\frac{1}{(a+1)^2}+\frac{1}{\left ( \frac{b}{2}+1 \right )^2}+\frac{8}{(c+3)^2}\ge \frac{8}{\left ( a+\frac{b}{2}+2 \right )^2}+\frac{8}{(c+3)^2}\ge \frac{64}{\left ( a+\frac{b}{2}+c+5 \right )^2}.$$

Từ giả thiết ta có

$$3b+6\ge (a^2+1)+(b^2+4)+(c^2+1)\ge 2a+4b+2c\implies a+\frac{b}{2}+c\le 3.$$

Do vậy ta cũng thu được kết quả như trên.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhungvienkimcuong: 28-08-2022 - 21:32

Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra ~O) 
Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em :wub:
Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh :ukliam2:





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh