Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

$\boxed{\text{Chuyên đề}}$ Đường tròn Apollonius

hình học chuyên đề đường tròn apollonius

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 34 trả lời

#1 spirit1234

spirit1234

    Thiếu úy

  • Điều hành viên THCS
  • 557 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\mathbb{Z}$
  • Sở thích:$\text{Hình học}$

Đã gửi 19-04-2020 - 20:01

                                                               Đường tròn Apollonius

 

  Đường tròn Apollonius là 1 đường tròn có rất nhiều ứng dụng trong hình học; chúng ta có thể áp dụng nó để giải 1 số bài toán từ quỹ tích; tứ giác nội tiếp; bài toán liên quan đến góc; dựng điểm; thậm chí đến cả cực trị hình học. Nếu nhìn sơ qua thì nó có vẻ rất khó để áp dụng nhưng nếu áp dụng được nó; chúng ta sẽ có được những lời giải đẹp đẽ đến lạ kì; đặc biệt là những bài toán tưởng chừng như không có cơ sở để chứng minh. Và sau đây chúng ta sẽ đến với chuyên đề về đường tròn Apollonius do mình (Phạm Vũ Hoàng) biên soạn;(nó được tổng hợp từ 1 số tài liệu và cũng có 1 phần kiến thức của mình); để cùng tìm hiểu về cách áp dụng đường tròn Apollonius vào giải toán như thế nào nhé!

 

 

1.Đường tròn Apollonius:  

 

*Bài toán về đường tròn Apollonius được phát biểu như sau: Cho 2 điểm $A,B$. Tập hợp các điểm $P$ sao cho tỉ số $\frac{PA}{PB}=k$ không đổi $(k>0;k\not=1)$ là 1 đường tròn; được gọi là đường tròn Apollonius của đoạn thẳng $AB$ ứng với tỉ số k.

 

Ta chứng minh bài toán trên như sau:

 

 Gọi $C,D$ là 2 điểm nằm trong và ngoài đoạn thẳng $AB$ sao cho $\frac{CA}{CB}=\frac{DA}{DB}=k$.

 

 Khi đó $\frac{PA}{PB}=\frac{CA}{CB}=\frac{DA}{DB}$ nên $C,D$ lần lượt là chân đường phân giác trong và ngoài của $\widehat{APB}$.

 

 $\Rightarrow \widehat{CPD}=90^{\circ}$. Vậy P nằm trên đường tròn đường kính $CD$.

 

 Ngược lại ta có: Nếu P nằm trên đường tròn đường kính $CD$ như trên thì ta có $\frac{PA}{PB}=k$.

 

 Như vậy tập hợp các điểm P là đường tròn đường kính $CD$.

 

geogebra-export (1).png

 

Từ bài chứng minh trên chúng ta hoàn toàn có thể xây dựng đường tròn Apollonius của 1 tam giác như sau:

 

 Đường tròn Apollonius của $\Delta PAB$ ứng với đỉnh P là đường tròn có đường kính là đoạn thẳng nối 2 chân đường phân giác trong và ngoài $\widehat{APB}$.

 

Như vậy trong 1 tam giác có thể có 3 đường tròn Apollonius ứng với 3 đỉnh của tam giác. 

 

Và sau đây chúng ta cùng tìm hiểu 1 số tính chất của đường tròn này.

 

 

2.Tính chất: Đường tròn Apollonius có cả chục tính chất nhưng hôm nay mình chỉ xin phép đưa ra 2 tính chất cơ bản và hữu dụng nhất của đường tròn này mà thôi.

 

 

*Tính chất 1: Đường tròn Apollonius trực giao với đường tròn ngoại tiếp.

 

geogebra-export.png

 

Chứng minh: Gọi $C,D$ lần lượt là đường phân giác trong và ngoài góc P của $\Delta ABP$. J là trung điểm $CD$. $(O)$ là đường tròn ngoại tiếp $\Delta PAB$.

 

 Theo hệ thức New-ton ta có: $$JP^2=JC^2=JA.JB\Rightarrow JP$$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O)$.

 

 Điều đó có nghĩa $(J)$ và $(O)$ trực giao.(đpcm)

 

 

*Tính chất 2: 3 đường tròn Apollonius của 1 tam giác giao nhau tại 2 điểm isodynamic; 2 điểm này là 2 điểm nghịch đảo ứng với đường tròn $(O)$.

 

 

3.Ví dụ: Sau đây chúng ta sẽ xét 1 vài ví dụ để giúp dễ hiểu hơn cách áp dụng bài toán về đường tròn này.

 

 

*Ví dụ 1: Cho $\Delta ABC(AB>AC)$ và điểm M nằm trong tam giác sao cho $\frac{MB}{MC}=\frac{AB}{AC}$. Gọi N là điểm đối xứng với M qua $BC$. CMR: $\widehat{MAB}=\widehat{NAC}$.

 

+) Suy luận: Đầu tiên; ta nhìn thấy tỉ số $\frac{MB}{MC}=\frac{AB}{AC}$; điều này làm ta liên tưởng tới đường tròn Apollonius được xây dựng với tỉ số cố định trên đoạn BC; lại thêm việc phải chứng minh $\widehat{MAB}=\widehat{NAC}$, điều này làm ta nghĩ đến việc kẻ phân giác của $\widehat{BAC}$ rồi chứng minh đó cũng chính là phân giác của $\widehat{MAN}$. Từ đó; chúng ta xác định được yếu tố phụ cần kẻ thêm là phân giác trong ngoài của $\widehat{A}$ của $\Delta ABC$ hay cũng chính là đường tròn Apollonius $\widehat{A}$ của $\Delta ABC$. Từ đó ta có bài làm sau.

 

geogebra-export (2).png

 

+) Bài làm:

 

 Kẻ $AE,AF$ lần lượt là các đường phân giác trong; ngoài của $\widehat{A}$ của $\Delta ABC$ ($E,F$ thuộc đường thẳng $BC$).

 

 Theo giả thiết và tính chất của đường phân giác ta có: $\frac{NB}{NC}=\frac{MB}{MC}=\frac{AB}{AC}=\frac{EB}{EC}=\frac{FB}{FC}$.

 

 Suy ra 5 điểm $M,N,A,E,F$ cùng nằm trên đường tròn Apollonius xác định bởi BC và tỷ số $\frac{AB}{AC}$.

 

 Vì $M,N$ đối xứng nhau qua $BC$ nên $M,N$ đối xứng nhau qua đường kính $EF$ của đường tròn nói trên.

 

 $\Rightarrow \widehat{MAE}=\widehat{NAE}$.

 

 Mặt khác $AE$ là phân giác $\widehat{BAC}\Rightarrow \widehat{BAE}=\widehat{CAE}$

 

 $\Rightarrow \widehat{MAB}=\widehat{NAC}$ (đpcm)

 

+) Nhận xét: Nhờ xác định được yếu tố cần vẽ thêm là đường tròn Apollonius của $\widehat{A}$ của $\Delta ABC$ mà bài toán trở nên đơn giản hơn rất nhiều.

 

 

*Ví dụ 2: Cho $\Delta ABC$ có điểm P bất kì nằm trong tam giác. Gọi $X,Y,Z$ lần lượt là hình chiếu của P trên $BC,CA,AB$ ($\Delta XYZ$ còn gọi là tam giác Pedal). Hỏi: Khi $\Delta XYZ$ cân tại X thì P di chuyển trên đường nào?

 

+) Suy luận: Ta xác định được P nằm trên đường tròn Apollonius của $\widehat{A}$ của $\Delta ABC$; sử dụng 1 vài tính chất quen thuộc của tứ giác nội tiếp và tam giác Pedal ta có đpcm.

 

geogebra-export (3).png

+) Bài làm: 

 

 Ta có: $XY=XZ$ khi và chỉ khi: $PC.\sin \widehat{ACB}=PB.\sin \widehat{ABC}$ (tính chất quen thuộc)

 

 Hay $\frac{PC}{PB}=\frac{\sin \widehat{ABC}}{\sin \widehat{ACB}}=\frac{AC}{BC}$

 

 Điều này tương đương P nằm trên đường tròn Apollonius của $\widehat{A}$ của $\Delta ABC$.

 

+) Nhận xét: Sử dụng đường tròn Apollonius làm cho lời giải ngắn gọn đến bất ngờ  :o  .

 

***Phần ví dụ chỉ đến thế thôi; hi vọng các bạn đã hiểu và nắm rõ hơn cách áp dụng đường tròn Apollonius vào giải toán; chúc các bạn thành công***

 

 Thôi viết đến đây thôi; mọi người nhé like  :like  và rate 5 sao cho mình nhé; à mà đừng quên ấn theo dõi chủ đề để nhận được những thông tin mới nhất nhé!  ;) 

  


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi spirit1234: 19-04-2020 - 20:13


#2 spirit1234

spirit1234

    Thiếu úy

  • Điều hành viên THCS
  • 557 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\mathbb{Z}$
  • Sở thích:$\text{Hình học}$

Đã gửi 19-04-2020 - 20:08

Và sau đây là phần bài tập; mời mọi người cùng vào làm:

 

$\boxed{\text{Bài 1}}$:(Iran 1997) Cho $\Delta ABC$ nội tiếp $(O)$ và điểm M thay đổi trên $\mathop{BC}^\frown$ không chứa A. Gọi $I, J$ lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác $ABM,CAM$. CMR: Đường tròn ngoại tiếp $\Delta MIJ$ luôn đi qua 1 điểm cố định.

 

 $\boxed{\text{Bài 2}}$: Trên mặt phẳng chỉ tồn tại 2 điểm sao cho tam giác Pedal của 2 điểm đó ứng với $\Delta ABC$ là tam giác đều.

 

 $\boxed{\text{Bài 3}}$: Cho $\Delta ABC$, dựng $\Delta XYZ$ đều nội tiếp $\Delta ABC$ sao cho $S_{XYZ}$ nhỏ nhất (S là diện tích).

 

 $\boxed{\text{Bài 4}}$: Cho $\Delta ABC(AB<AC)$. Gọi $D,P$ lần lượt là chân phân giác trong và ngoài góc A. M là trung điểm $BC$, $(APD)$ là đường tròn ngoại tiếp $\Delta APD$. Q là điểm nằm trên cung nhỏ $AD$ sao cho $MQ$ tiếp xúc $(APD)$. $QB$ giao $(APD)$ tại điểm thứ 2 là R. Đường thẳng qua R vuông góc $BC$ giao $PQ$ tại S. CMR: $SD$ tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp $\Delta QDM$.

 

 $\boxed{\text{Bài 5}}$: Cho $\Delta ABC$ không cân. Điểm M thay đổi trong tam giác thỏa mãn điều kiện: $\widehat{AMC}-\widehat{ABC}=\widehat{AMB}-\widehat{ACB}$. CMR: M thuộc 1 đường tròn cố định.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi spirit1234: 24-04-2020 - 19:54


#3 Pizscontrol9

Pizscontrol9

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 36 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Việt Nam
  • Sở thích:làm việc mình thích

Đã gửi 20-04-2020 - 07:57

 

$\boxed{\text{Bài 5}}$: Cho $\Delta ABC$ không cân. Điểm M thay đổi trong tam giác thỏa mãn điều kiện: $\widehat{AMC}-\widehat{ABC}=\widehat{AMB}-\widehat{ACB}$. CMR: M thuộc 1 đường tròn cố định.

 

Vào ủng hộ thằng em tí  :D 

$\boxed{\text{Bài 5}}$:

 Dựng ra phía ngoài tam giác $ABC$ một điểm $D$ sao cho $\triangle{ADC}\sim \triangle{AMB}.$

Suy ra $\frac{AD}{AM}=\frac{AB}{AC}$ và $\angle{BAC}=\angle{MAD}$

nên $\triangle{AMD}\sim \triangle{ABC}$, do đó $\angle{AMD}=\angle{ABC}$ 
suy ra $\angle{AMC}-\angle{ABC}=\angle{AMC}-\angle{AMD}=\angle{CMD}(1)$

Mặt khác $\angle{ADC}=\angle{AMB},\angle{ADM}=\angle{ACB}$

Suy ra $\angle{AMB}-\angle{ACB}=\angle{ADC}-\angle{ADM}=\angle{MDC}(2)$

Từ (1), (2), $\angle{CMD}=\angle{CDM}$ suy ra $CD=CM$

Do đó $\frac{AM}{AB}=\frac{CD}{AC}=\frac{CM}{AC}\Rightarrow \frac{AM}{CM}=\frac{AB}{AC}$ không đổi/

Vậy $M$ thuộc đường tròn $Appolonius$ dựng trên đoạn $AC$ với tỉ số là $\frac{AB}{AC}.$

 

*P/s: Bài này giải thế cũng thấy dài; chưa đẹp lắm; hi vọng mọi người có cách giải khác đẹp hơn; tối ưu hơn.



#4 ANZ

ANZ

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 7 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:llk
  • Sở thích:...

Đã gửi 20-04-2020 - 08:15

Chứng minh bài toán đường tròn Apollonius:

$\text{Cách 2}$: Gọi AB=a.Giả sử $PA>PB$.

Dựng $PC,PD$ lần lượt là phân giác trong và phân giác ngoài của $\widehat{APB}$ thì $\widehat{CPD}=90^{\circ}$.

Theo tính chất phân giác ta có: $\frac{CA}{CB}=\frac{DA}{DB}=\frac{PA}{PB}=k\Rightarrow \frac{CA}{CA+CB}=\frac{k}{k+1}\Rightarrow CA=\frac{ak}{k+1}$

Tương tự ta có: $DA=\frac{ak}{k-1}\Rightarrow C,D$ cố định; mà $\widehat{CPD}=90^{\circ}$

Suy ra P thuộc đường tròn đường kính CD.

Vậy...


Nhỏ... :luoi: 


#5 Pizscontrol9

Pizscontrol9

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 36 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Việt Nam
  • Sở thích:làm việc mình thích

Đã gửi 20-04-2020 - 09:13

Góp 1 bài  :D :

$\boxed{\text{Bài 6}}$: CMR: tâm đường tròn Apollonius của các góc A,B,C của $\Delta ABC$ thẳng hàng.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Pizscontrol9: 20-04-2020 - 20:25


#6 spirit1234

spirit1234

    Thiếu úy

  • Điều hành viên THCS
  • 557 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\mathbb{Z}$
  • Sở thích:$\text{Hình học}$

Đã gửi 20-04-2020 - 15:45

Góp 1 bài  :D :

$\boxed{\text{Bài 6}}$: CMR: tâm đường tròn Apollonius của các góc A,B,C của $\Delta ABC$ thẳng hàng.

CMinh: 

Đặt $BC=a;CA=b;AB=c$. Gọi $(O)$ là đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$; L,M,N lần lượt là tâm đường tròn Apollonius của góc $A,B,C$ của $\Delta ABC$.

Theo tính chất 1 ta có: LA là tiếp tuyến của đường tròn $$(O)\Rightarrow LA^2=LB.LC$$

Dễ thấy: $$\Delta LAB\sim \Delta LCA\Rightarrow \frac{LA^2}{LC^2}=\frac{c^2}{b^2}$$

$$\Rightarrow \frac{LB}{LC}=\frac{c^2}{b^2}$$.

Tương tự ta có: $$\frac{MC}{MA}=\frac{a^2}{c^2};\frac{AN}{NB}=\frac{b^2}{a^2}$$

$\Rightarrow \frac{LB}{LC}.\frac{MC}{MA}.\frac{AN}{NB}=1$

Theo định lý Menelauys đảo ta có: $\overline{L,M,N}$

=>đpcm.

geogebra-export (4).png

*Bài này anh lấy ở đâu vậy anh. Bài này em nghĩ có thể chứng minh $\overline{D,G,J}$ (chứng minh tương tự với các bộ điểm còn lại); sau đó dùng đường thẳng Gauss ta có đpcm. Nhưng em chưa chứng minh được $\overline{D,G,J}$  :icon6: (nếu chứng minh đc chắc cũng dài) ; mời mọi người chứng minh thử. :icon6:


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi spirit1234: 20-04-2020 - 15:46


#7 Pizscontrol9

Pizscontrol9

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 36 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Việt Nam
  • Sở thích:làm việc mình thích

Đã gửi 20-04-2020 - 20:30

Bài này anh vẽ hình điểm isodynamic thấy 3 tâm đường tròn thẳng hàng thì ra đề thôi. (Còn chứng minh kiểu gì thì anh ko biết  :D ) (Ra đề bừa cũng đúng  :closedeyes: )

Mà máy bị thế nào đấy Hoàng; cứ viết Latex lại xuống dòng thế (nhìn thấy chữ đường tròn xong (O) xuống dòng là có vấn đề rồi); mất thẩm mĩ quá.



#8 spirit1234

spirit1234

    Thiếu úy

  • Điều hành viên THCS
  • 557 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\mathbb{Z}$
  • Sở thích:$\text{Hình học}$

Đã gửi 21-04-2020 - 09:03

Bài này anh vẽ hình điểm isodynamic thấy 3 tâm đường tròn thẳng hàng thì ra đề thôi. (Còn chứng minh kiểu gì thì anh ko biết  :D ) (Ra đề bừa cũng đúng  :closedeyes: )

Mà máy bị thế nào đấy Hoàng; cứ viết Latex lại xuống dòng thế (nhìn thấy chữ đường tròn xong (O) xuống dòng là có vấn đề rồi); mất thẩm mĩ quá.

Em chịu

 

Và sau đây là phần bài tập; mời mọi người cùng vào làm:

 

$\boxed{\text{Bài 1}}$:(Iran 1997) Cho $\Delta ABC$ nội tiếp $(O)$ và điểm M thay đổi trên $\mathop{BC}^\frown$ không chứa A. Gọi $I, J$ lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác $ABM,CAM$. CMR: Đường tròn ngoại tiếp $\Delta MIJ$ luôn đi qua 1 điểm cố định.

 

Làm tạm bài 1; còn mấy bài nữa; mọi người vào làm đi.

$\boxed{\text{Bài 1}}$: 

Gọi N là giao điểm của đường tròn ngoại tiếp $\Delta MIJ$ với $(O)$; $MI$ cắt $(O)$ tại E; $MJ$ cắt $(O)$ tại D.

Ta có: $EA=EB;DA=DC$.

Mặt khác ta cũng có tính chất quen thuộc: $EA=EB=EI;DA=DC=DJ$.

Ta có: $\widehat{NEI}=\widehat{NDJ};\widehat{EIN}=180^{\circ}-\widehat{NIM}=180^{\circ}-\widehat{NJM}=\widehat{NJD}$

$\Rightarrow \Delta NIE\sim \Delta NJD\Rightarrow \frac{NE}{ND}=\frac{EI}{DJ}=\frac{AE}{AD}$ (không đổi)

Suy ra N thuộc đường tròn Apollonius dựng trên đoạn $ED$ với tỷ sô $\frac{AE}{AD}$.

Vậy N là giao điểm của đường tròn Apollonius với đường tròn $(O)$ cố định.

=> Đường tròn ngoại tiếp $\Delta MIJ$ đi qua điểm N cố định.

geogebra-export (5).png


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi spirit1234: 21-04-2020 - 13:43


#9 Pizscontrol9

Pizscontrol9

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 36 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Việt Nam
  • Sở thích:làm việc mình thích

Đã gửi 21-04-2020 - 13:58

Góp mấy bài có cả điểm Fermat vao đây đc ko Hoàng  (tất nhiên là vẫn có đườn tròn Apollonius)

***Chuyên đề tẻ nhỉ; có mỗi mấy người.



#10 spirit1234

spirit1234

    Thiếu úy

  • Điều hành viên THCS
  • 557 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\mathbb{Z}$
  • Sở thích:$\text{Hình học}$

Đã gửi 21-04-2020 - 14:10

Góp mấy bài có cả điểm Fermat vao đây đc ko Hoàng  (tất nhiên là vẫn có đườn tròn Apollonius)

***Chuyên đề tẻ nhỉ; có mỗi mấy người.

Tùy anh thôi; quan trọng là đưa vào xong có ai làm ko chứ.

(điểm Fermat em mới học sơ qua thôi  :icon6:; nên nếu anh đưa vào bài khó thì em chịu )



#11 Pizscontrol9

Pizscontrol9

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 36 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Việt Nam
  • Sở thích:làm việc mình thích

Đã gửi 21-04-2020 - 20:42

 

$\boxed{\text{Bài 2}}$: Trên mặt phẳng chỉ tồn tại 2 điểm sao cho tam giác Pedal của 2 điểm đó ứng với $\Delta ABC$ là tam giác đều.

 

Gọi P là điểm bất kì trong mặt phẳng; $XYZ$ là tam giác Pedal của P ứng với $\Delta ABC$.

Theo Ví dụ 2 thì $\Delta XYZ$ cân tại X khi và chỉ khi P nằm trên đường tròn Apollonius của góc A của $\Delta ABC$.

Tương tự; $\Delta XYZ$ cân tại Y khi và chỉ khi P nằm trên đường tròn Apollonius của góc B của $\Delta ABC$.

Như vậy $\Delta XYZ$ đều khi và chỉ khi P là giao điểm của 3 đường tròn Apollonius của $\Delta ABC$

=>đpcm



#12 Pizscontrol9

Pizscontrol9

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 36 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Việt Nam
  • Sở thích:làm việc mình thích

Đã gửi 21-04-2020 - 20:43

bài 3 chú lấy ở đâu vậy; anh thấy bài này chắc phải dùng cả định lý Miquel với phép vị tự (Nhưng chắc cũng ko dài lắm).



#13 spirit1234

spirit1234

    Thiếu úy

  • Điều hành viên THCS
  • 557 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\mathbb{Z}$
  • Sở thích:$\text{Hình học}$

Đã gửi 21-04-2020 - 20:50

bài 3 chú lấy ở đâu vậy; anh thấy bài này chắc phải dùng cả định lý Miquel với phép vị tự (Nhưng chắc cũng ko dài lắm).

Anh cứ thử đi; mấy bài này đề ngắn nên cũng ko khó đâu (đâu như mấy bài của anh; đề ngắn làm dài)

Em nghĩ ko dùng miquel và vị tự cũng đc; nhưng nếu dùng nó chắc sẽ tối ưu hơn.



#14 Pizscontrol9

Pizscontrol9

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 36 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Việt Nam
  • Sở thích:làm việc mình thích

Đã gửi 21-04-2020 - 22:04

Đọc đc bài này trong sách  :D :

$\boxed{\text{Bài 7}}$: Cho $\Delta ABC$. Điểm P bất kì nằm trên đường tròn Apollonius ứng với đỉnh A. Gọi $I_{1};I_{2}$ lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp $\Delta APB,APC$. Q là chân đường phân giác ngoài đỉnh A. CMR: $\overline{Q,I_{1},I_{2}}$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Pizscontrol9: 22-04-2020 - 20:03


#15 spirit1234

spirit1234

    Thiếu úy

  • Điều hành viên THCS
  • 557 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\mathbb{Z}$
  • Sở thích:$\text{Hình học}$

Đã gửi 22-04-2020 - 08:14

Đọc đc bài này trong sách  :D :

$\boxed{\text{Bài 7}}$: Cho $\Delta ABC$. Điểm P bất kì nằm trên đường tròn Apollonius ứng với đỉnh A. Gọi $I_{1};I_{2}$ lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp $\Delta APB,APC$. Q là chân đường phân giác ngoài đỉnh A. CMR: $\overline{Q,I_{1},I_{2}}$.

Bài này ko quá khó:

 Gọi M là giao của $BI_{1}$ với $AP$.

Ta có: $\frac{AM}{PM}=\frac{BA}{BP}=\frac{CA}{CP}\Rightarrow \overline{T,I_{2},C}$

Gọi N là giao của $I_{1}I_{2}$ với $BC$.

Theo định lý Menelauyts ta có: $\frac{NB}{NC}.\frac{I_{2}C}{I_{2}M}.\frac{I_{1}M}{I_{1}B}=1$

Hay $\frac{NB}{NC}.\frac{AC}{AM}.\frac{AM}{AB}=1\Leftrightarrow \frac{NB}{NC}=\frac{AB}{AC}$

=>N trùng Q=>đpcm

 

***TOPIC vắng quá nhỉ; mỗi em với anh Long cùng ôn tập.***


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi spirit1234: 22-04-2020 - 08:15


#16 Pizscontrol9

Pizscontrol9

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 36 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Việt Nam
  • Sở thích:làm việc mình thích

Đã gửi 22-04-2020 - 20:14

$\boxed{\text{Bài 3}}$: Cho $\Delta ABC$, dựng $\Delta XYZ$ đều nội tiếp $\Delta ABC$ sao cho $S_{XYZ}$ nhỏ nhất (S là diện tích).

Gọi P là điểm Miquel của $\Delta ABC$ ứng với bộ điểm $X,Y,Z$. $X_{1}Y_{1}Z_{1}$ là tam giác Pedal của P ứng với $\Delta ABC$.

Ta có: $\widehat{ZPX}=180^{\circ}-\widehat{ABC}=\widehat{Z_{1}PX_{1}}$.

Tương tự suy ra: $\widehat{X_{1}PX}=\widehat{Y_{1}PY}=\widehat{Z_{1}PZ}=\alpha $

Do đó $\Delta X_{1}PX\sim \Delta Y_{1}PY\sim \Delta Z_{1}PZ$

Phép vị tự quay tâm P tỉ số $\frac{PX_{1}}{PX}<1$, góc quay $\alpha $ lần lượt biến $X\to X_{1};Y\to Y_{1};Z\to Z_{1}$

Vậy $\Delta X_{1}Y_{1}Z_{1}$ là tam giác đều nội tiếp $\Delta ABC$ có diện tích nhỏ nhất; đó là tam giác Pedal của điểm isodynamic P.

 

***Có mỗi 2 ae thì 2 ae cùng ôn tập  :D .Nhưng cũng hi vọng có thêm vài người nữa vào cùng luyện tập cho xôm  ^_^ ***


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Pizscontrol9: 22-04-2020 - 20:17


#17 Pizscontrol9

Pizscontrol9

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 36 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Việt Nam
  • Sở thích:làm việc mình thích

Đã gửi 23-04-2020 - 21:13

Mời ae mau vào chém  :lol: :

 

$\boxed{\text{Bài 8}}$: Cho $\Delta ABC$ có $I,J$ lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp và tâm đường tròn bàng tiếp góc A. Gọi $(E),(D)$ lần lượt là đường tròn Apollonius của đoạn thẳng $BC$ ứng với tỉ số $\frac{IB}{IC},\frac{JB}{JC}$. CMR: $IJ$ là tiếp tuyến của $(E)$ và $(D)$.

 

$\boxed{\text{Bài 9}}$: Cho $\Delta ABC$, $M,N$ lần lượt là trung điểm $BC$ và điểm chính giữa $\mathop{BAC}^\frown$. $I_{1},I_{2}$ lần lượt là tâm bàng tiếp góc A của $\Delta MAB,MAC$. CMR: $A;I_{1};I_{2};N$ cùng thuộc 1 đường tròn.

 

$\boxed{\text{Bài 10}}$: Cho $\Delta ABC(AB<AC)$. Gọi $D,P$ lần lượt là chân phân giác trong và ngoài góc A. M là trung điểm $BC$, $(APD)$ là đường tròn ngoại tiếp $\Delta APD$. Q là điểm nằm trên cung nhỏ $AD$ sao cho $MQ$ tiếp xúc với $(APD)$. $QB$ giao $(APD)$ tại lần thứ 2 tại R. Đường thẳng qua R vuông góc với $BC$ giao $PQ$ tại S. CMR: $SD$ tiếp xúc đường tròn ngoại tiếp $\Delta QDM$.

 

$\boxed{\text{Bài 11}}$: Cho 4 điểm $A,B,C,D$ thẳng hàng theo thứ tự đó, $AB\not= CD$. Điểm M thay đổi sao cho $\widehat{AMB}=\widehat{CMD}$ (M không thuộc $AB$). CMR: M thuộc 1 đường tròn cố định.

 

$\boxed{\text{Bài 12}}$: Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH .$ Chứng minh các đường tròn $H − apollonius$ của các tam giác $AHB,AHC$ giao nhau tại tâm đường tròn $A − apollonius$ của tam giác ABC


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Pizscontrol9: 23-04-2020 - 21:28


#18 spirit1234

spirit1234

    Thiếu úy

  • Điều hành viên THCS
  • 557 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\mathbb{Z}$
  • Sở thích:$\text{Hình học}$

Đã gửi 24-04-2020 - 08:58

Em-Phạm Vũ Hoàng xin phép xử đẹp bài 8:

$\boxed{\text{Bài 8}}$: Gọi $M,N$ lần lượt là điểm chia trong và chia ngoài $BC$ theo tỉ số $\frac{IB}{IC}$, E là trung điểm $MN$.

 Theo hệ thức New-ton ta có: $EI^{2}=EM^{2}=PB.PC$ hay $EI$ tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp $\Delta BIC$.

 Do tâm của $(BIC)$ là trung điểm $\mathop{BC}^\frown$ nên $\widehat{EIJ}=90^{\circ}$

Vậy $IJ$ tiếp xúc với $(E)$; tương tự $IJ$ tiếp xúc với $(D)$.

=>đpcm



#19 spirit1234

spirit1234

    Thiếu úy

  • Điều hành viên THCS
  • 557 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\mathbb{Z}$
  • Sở thích:$\text{Hình học}$

Đã gửi 24-04-2020 - 20:02

$\boxed{\text{Bài 4}}$: Cho $\Delta ABC(AB<AC)$. Gọi $D,P$ lần lượt là chân phân giác trong và ngoài góc A. M là trung điểm $BC$, $(APD)$ là đường tròn ngoại tiếp $\Delta APD$. Q là điểm nằm trên cung nhỏ $AD$ sao cho $MQ$ tiếp xúc $(APD)$. $QB$ giao $(APD)$ tại điểm thứ 2 là R. Đường thẳng qua R vuông góc $BC$ giao $PQ$ tại S. CMR: $SD$ tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp $\Delta QDM$.

Ta có: $SD$ tiếp xúc với $(QDM)$ khi và chỉ khi: $\widehat{SDP}=\widehat{DQM}=\widehat{SPD}$; khi và chỉ khi R là điểm chính giữa $\mathop{PD}^\frown$.

Theo $MQ^{2}=MD.MP=MB^{2}=MC^{2}$. Do đó $\Delta BQC$ vuông tại Q.

Mặt khác $\widehat{PQD}=90^{\circ}$ nên theo tính chất hàng phân giác ta có $QD$ là phân giác $\widehat{BQC}$.

$\Rightarrow \widehat{RQD}=45^{\circ}$. Suy ra R là điểm chính giữa $\mathop{PD}^\frown$.

=>đpcm.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi spirit1234: 24-04-2020 - 20:03


#20 Pizscontrol9

Pizscontrol9

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 36 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Việt Nam
  • Sở thích:làm việc mình thích

Đã gửi 24-04-2020 - 20:49

Anh dạy em thế nào hả Hoàng; sao lại áp dụng hệ thức Newton bừa bãi như vậy chứ; nó đc dùng cho hàng điểm điều hòa mà; (anh dạy chú trc rồi chú lại đem kiến thức ra áp dụng lằng nhằng thế này à; chưa hiểu rõ bản chất mà đã đòi áp dụng).

 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Pizscontrol9: 24-04-2020 - 20:51






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: hình học, chuyên đề, đường tròn apollonius

2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh