Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

$\boxed{\text{Chuyên đề}}$ Đường tròn Apollonius

hình học chuyên đề đường tròn apollonius

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 34 trả lời

#21 spirit1234

spirit1234

    Thiếu úy

  • Điều hành viên THCS
  • 557 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\mathbb{Z}$
  • Sở thích:$\text{Hình học}$

Đã gửi 24-04-2020 - 20:56

Anh dạy em thế nào hả Hoàng; sao lại áp dụng hệ thức Newton bừa bãi như vậy chứ; nó đc dùng cho hàng điểm điều hòa mà; (anh dạy chú trc rồi chú lại đem kiến thức ra áp dụng lằng nhằng thế này à; chưa hiểu rõ bản chất mà đã đòi áp dụng).

 

Tính cách của em nó thế; mãi ko sửa đc; mà em thấy cái hàng điểm điều hòa đấy bản chất của nó đơn giản chỉ là thứ tự điểm trong các điểm thẳng hàng thôi mà. Em thấy lời giải của em về bản chất thì nó vẫn đúng chứ anh nhỉ.

Quả này phải nhờ anh dạy kĩ thêm rồi  :icon6: .



#22 spirit1234

spirit1234

    Thiếu úy

  • Điều hành viên THCS
  • 557 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\mathbb{Z}$
  • Sở thích:$\text{Hình học}$

Đã gửi 26-04-2020 - 09:30

Bài 10 lặp bài 4 rồi anh ơi



#23 spirit1234

spirit1234

    Thiếu úy

  • Điều hành viên THCS
  • 557 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\mathbb{Z}$
  • Sở thích:$\text{Hình học}$

Đã gửi 26-04-2020 - 21:54

$\boxed{\text{Bài 11}}$: Cho 4 điểm $A,B,C,D$ thẳng hàng theo thứ tự đó, $AB\not= CD$. Điểm M thay đổi sao cho $\widehat{AMB}=\widehat{CMD}$ (M không thuộc $AB$). CMR: M thuộc 1 đường tròn cố định.

Có mỗi 2 anh em vậy mà cũng chém sang đc trang 2 anh Long nhỉ  :blink: .

Anh nhắc nhở thì bài này thôi ko dùng hệ thức Newton nữa  :icon9: .

$\boxed{\text{Bài 11}}$: 

Gọi P và Q là giao điểm của MA,MD với đường tròn ngoại tiếp $\Delta MBC$.

Theo giả thiết: $\widehat{AMB}=\widehat{CMD}\Rightarrow PB=QC\Rightarrow PQ//BC$.

Theo định lý Ta-let ta có: $PQ//BC\Rightarrow \frac{AP}{AM}=\frac{DQ}{DM}$

Ta có: $AP.AM=AB.AC\Rightarrow \frac{AP}{AM}=\frac{AB.AC}{AM^{2}}$

Tương tự: $\frac{DQ}{DM}=\frac{DB.DC}{DM^{2}}$

$\Rightarrow \frac{AM^{2}}{DM^{2}}=\frac{AB.AC}{DC.DB}$

Mà $A,B,C,D$ cố định $\Rightarrow \frac{AM}{DM}=\sqrt{\frac{AB.AC}{DC.DB}}$ không đổi.

$\Rightarrow M$ thuộc đường tròn Apollonius có tỷ số $\sqrt{\frac{AB.AC}{DC.DB}}$ được dựng trên đoạn $AD$.

=>đpcm



#24 Ngoc Tho 2005

Ngoc Tho 2005

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 58 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Hà Tĩnh
  • Sở thích:Tâm lí học

Đã gửi 26-04-2020 - 22:44

Spirit1234, sao giỏi hình vậy bạn, chỉ mk với, bạn học như thế nào vậy, hỏi nghiêm túc luôn?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ngoc Tho 2005: 26-04-2020 - 22:45

Cái giá của việc giữ kỷ luật luôn luôn thấp hơn nỗi đau của niềm hối tiếc  :B)  :B)  :B)

                                                             


#25 quocthai0974767675

quocthai0974767675

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 144 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS Vĩnh Yên ,Vĩnh Phúc
  • Sở thích:học và làm theo lời Bác Hồ dạy

Đã gửi 27-04-2020 - 07:12

ÁI dà,cao siêu nhỉ.Xin góp luôn bài :icon10:

BÀI 13:Cho tứ giác ABCD thỏa mãn AB.CD=BC.DA.Điểm X trong tứ giác thỏa mãn góc XAB=góc XCD và góc XCB= góc XDA.CMR: góc BXA + góc DXC=180


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quocthai0974767675: 27-04-2020 - 07:14

 You only live once, but if you do it right, once is enough.


#26 Pizscontrol9

Pizscontrol9

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 36 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Việt Nam
  • Sở thích:làm việc mình thích

Đã gửi 27-04-2020 - 08:17

Anh nghĩ thằng Hoàng gà mờ ko làm đc bài này đâu  :)) .

Tuy nhiên anh thấy bài này chẳng cần dùng đường tròn Apollonius gì  :mellow: .

$\boxed{\text{Bài 13}}$: 

Từ giả thiết ta có: $\frac{AB}{AD}=\frac{CB}{CD}$ suy ra đường phân giác $\widehat{BAD}$ và $\widehat{BCD}$ cắt nhau tại 1 điểm trên BD.

Gọi $E=AC\cap BD$, đường thẳng đối xứng với AE qua phân giác $\widehat{BAD}$ cắt BD tại điểm P (AE và AP là 2 đường đẳng giác của $\widehat{BAD}$ ) từ đó CE và CP cũng là 2 đường đẳng giác của $\widehat{BCD}$ (hi vọng mn biết đường đẳng giác là gì rồi)

Theo tính chất của đường đẳng giác ta có: $\frac{PB.EB}{PD.ED}=\frac{AB^{2}}{AD^{2}}=\frac{CB^{2}}{CD^{2}};\widehat{BCA}=\widehat{DCP}$

Tiếp tuyến tại của đường tròn (DAB) cắt BD tại Q;theo tính chất đường đối trung ngoài ta có(chắc mn biết đường đối trung ngoài là gì rồi nhỉ): 

$\frac{QB}{QD}=\frac{AB^{2}}{AD^{2}}=\frac{CB^{2}}{CD^{2}}\Rightarrow \widehat{QCD}=\widehat{CBD}\Rightarrow QC$ là tiếp tuyến đường tròn (BCD)

$\Rightarrow QA=QC(=\sqrt{QB.QD})$

Ta có: $\widehat{BAC}+\widehat{BDA}=\widehat{BAC}+\widehat{BAQ}=\widehat{QAC}=\widehat{QCA}=\widehat{QCB}+\widehat{BCA}=\widehat{CDQ}+\widehat{BCA}$

$\widehat{APB}=\widehat{PAD}+\widehat{PDA}=\widehat{BAC}+\widehat{BDA}=\widehat{CDQ}+\widehat{BCA}=\widehat{PCD}+\widehat{PDC}=\widehat{BPC}$

$\Rightarrow BP$ là phân giác $\widehat{APC}$

Gọi M là giao của đường tròn (APB) và (DPC) suy ra:$\widehat{MCD}=\widehat{MPB}=\widehat{MAP},\widehat{MBC}=\widehat{ABC}−\widehat{ABM}=180^{\circ}−\widehat{BAC}−\widehat{BCA}−(180^{\circ}−\widehat{APM})=\widehat{APC}−\widehat{MPC}−\widehat{PAD}−\widehat{PCD}=\widehat{ADC}−\widehat{MCD}=\widehat{MDA}.$

Từ những điều trên; kết hợp giả thiết ta có:$\widehat{XAB}=\widehat{XCD},\widehat{XBC}=\widehat{XDA}\Rightarrow M\equiv X\Rightarrow \widehat{BMC}=\widehat{BPC}=180^{\circ}−\widehat{BPC}=180^{\circ}−\widehat{BPA}=180^{\circ}−\widehat{BMA}\Rightarrow \widehat{BMC}+\widehat{BMA}=180^{\circ}\Rightarrow \widehat{BXA}+\widehat{DXC}=180^{\circ}.$

=>đpcm



#27 quocthai0974767675

quocthai0974767675

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 144 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS Vĩnh Yên ,Vĩnh Phúc
  • Sở thích:học và làm theo lời Bác Hồ dạy

Đã gửi 27-04-2020 - 08:23

Theo em thì vẫn dùng đường tròn apollonius,không nên dùng cách kia vì box này chủ đề về apollonius chưa chắc mn đã biết đẳng giác và đường đối trung là gì :closedeyes:


 You only live once, but if you do it right, once is enough.


#28 Pizscontrol9

Pizscontrol9

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 36 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Việt Nam
  • Sở thích:làm việc mình thích

Đã gửi 27-04-2020 - 08:35

Theo em thì vẫn dùng đường tròn apollonius,không nên dùng cách kia vì box này chủ đề về apollonius chưa chắc mn đã biết đẳng giác và đường đối trung là gì :closedeyes:

Em có cách nào dùng đường tròn Apollonius thì đăng lên đây đi; anh chỉ nghĩ ra cách đấy thôi (cx hơi phức tạp)

***Dành cho ai chưa biết về đường đẳng giác và đường đối trung thì đọc ở đây


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Pizscontrol9: 27-04-2020 - 08:35


#29 quocthai0974767675

quocthai0974767675

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 144 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS Vĩnh Yên ,Vĩnh Phúc
  • Sở thích:học và làm theo lời Bác Hồ dạy

Đã gửi 27-04-2020 - 08:36

Screenshot (12).png


 You only live once, but if you do it right, once is enough.


#30 quocthai0974767675

quocthai0974767675

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 144 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS Vĩnh Yên ,Vĩnh Phúc
  • Sở thích:học và làm theo lời Bác Hồ dạy

Đã gửi 27-04-2020 - 08:41

2_i5bc706eb45939.jpg

Cái kia hơi nhỏ


 You only live once, but if you do it right, once is enough.


#31 spirit1234

spirit1234

    Thiếu úy

  • Điều hành viên THCS
  • 557 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\mathbb{Z}$
  • Sở thích:$\text{Hình học}$

Đã gửi 27-04-2020 - 20:34

2 bài nữa:

$\boxed{\text{Bài 14}}$: Cho $(M)$ là đường tròn Apollonius của góc A của $\Delta ABC$ và $(O)$ là đường tròn $(ABC)$. $(M)\cap (O)=D\not= A$.Gọi A' là trung điểm $BC$. CMR: $\widehat{A'AC}=\widehat{BAD}$

 

$\boxed{\text{Bài 15}}$: Cho D là 1 điểm bên trong tam giác nhọn $ABC$ sao cho $AB=a.b,AC=a.c,BC=b.cBD=b.d,CD=c.d$. CMR: $\widehat{ABD}+\widehat{ACD}=60^{\circ}$



#32 Pizscontrol9

Pizscontrol9

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 36 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Việt Nam
  • Sở thích:làm việc mình thích

Đã gửi 27-04-2020 - 21:21

$\boxed{\text{Bài 14}}$: Cho $(M)$ là đường tròn Apollonius của góc A của $\Delta ABC$ và $(O)$ là đường tròn $(ABC)$. $(M)\cap (O)=D\not= A$.Gọi A' là trung điểm $BC$. CMR: $\widehat{A'AC}=\widehat{BAD}$

 

$\boxed{\text{Bài 15}}$: Cho D là 1 điểm bên trong tam giác nhọn $ABC$ sao cho $AB=a.b,AC=a.c,BC=b.cBD=b.d,CD=c.d$. CMR: $\widehat{ABD}+\widehat{ACD}=60^{\circ}$

Anh vẽ hình thì thấy trong bài 14; AD là đường đối trung thì phải.

Còn bài 15; hình như D là điểm đẳng động của $\Delta ABC$ thì phải (bài 15 dễ ko ý mà)



#33 Pizscontrol9

Pizscontrol9

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 36 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Việt Nam
  • Sở thích:làm việc mình thích

Đã gửi 27-04-2020 - 21:55

Bài 15: Từ giả thiết ta có:

$\frac{AB}{AC}=\frac{a.b}{a.c}=\frac{b.d}{c.d}=\frac{BD}{CD}$

Tương tự; ta có: $\frac{AC}{BC}=\frac{AD}{BD};\frac{BC}{AB}=\frac{CD}{AD}$

Vậy D là điểm chung của 3 đường tròn Apollonius của $\Delta ABC$

Gọi LMN là tam giác Pedal của D. Dễ thấy: LMN là tam giác đều.

Từ đó ta suy ra: $\widehat{ABD}+\widehat{ACD}=\widehat{NLD}+\widehat{MND}=60^{\circ}$ (đpcm)



#34 spirit1234

spirit1234

    Thiếu úy

  • Điều hành viên THCS
  • 557 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\mathbb{Z}$
  • Sở thích:$\text{Hình học}$

Đã gửi 30-04-2020 - 22:07

$\boxed{\text{Bài 16}}$: Cho $\Delta ABC$ nội tiếp $(O)$; đường trung trực của $AB$ cắt đường tròn A-Apollonius tại $H,I$ (I gần O hơn H). Đối xứng của I qua $BC$ là K. $J=CH\cap AK$. CMR: $JK$ là phân giác của $\widehat{BJC}$.



#35 spirit1234

spirit1234

    Thiếu úy

  • Điều hành viên THCS
  • 557 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\mathbb{Z}$
  • Sở thích:$\text{Hình học}$

Đã gửi 03-05-2020 - 20:37

$\boxed{\text{Bài 16}}$: Cho $\Delta ABC$ nội tiếp $(O)$; đường trung trực của $AB$ cắt đường tròn A-Apollonius tại $H,I$ (I gần O hơn H). Đối xứng của I qua $BC$ là K. $J=CH\cap AK$. CMR: $JK$ là phân giác của $\widehat{BJC}$.

Goị tâm đường tròn $Apolonius$ đỉnh $A$ là $S$, $AC$ cắt $(S)$ tại $L$, $A'$ đối xứng $A$ qua $BC$, $CH$ cắt $(S)$ tại $J$, $D,E$ là chân đường pg trong và ngoài góc $A$.
+ Ta có $(CDBE)=-1 => CA.CL=CD.CE=CS.CB$ (hệ thức Maclaurin)
$=> \angle BLA= \angle BSA=2\angle BEA=\angle A'EA=\angle A'LA => L, B, A'$ thẳng hàng
+ Gọi đối xứng của $M$ qua $BC$ là $M'$ thì chú ý rằng $\angle MBC=\angle MHS=\angle HMS=\angle HBS => H,B,M'$ thẳng hàng
    Từ đó $HB, HM$ đẳng giác góc $\angle A'HA => M'A'=AM$
Mà $IA=KA'$ (phép đối xứng trục $BC$) $=> AK,AI$ đẳng giác góc $\angle AHA'$
Lấy $R$ trên tia $HA'$ sao cho $HR=HC$ thì $ΔHBR = ΔHAC (c.g.c)$
$=> ΔHAB = ΔHRC$ mà $HI⊥AB$ đồng thời $HI, HK$ đẳng giác $=>HK⊥RC$
$=> HK$ là đường phân giác ($ΔHRC$ cân) => $KA'=KM$
+ $KA'=IA$ (đx trục) $= IB$ (giả thiết) $= BK$ (đx trục) $=> K$ là tâm $(BMA')$
Ta có:  $ \angle JKB= \angle AKA'-  \angle BKA'=180^o- \angle AEA'-  \angle BIA=180^o-2 \angle AES-2 \angle AIH$
$=180^o-2 \angle AES-2 \angle AEH=180^o-2 \angle HES= \angle HSE= \angle HMB= \angle JMB$ => J , M , K , B đồng viên
Lại có: $ \angle JBA=\angle B-( \angle JBM+  \angle MBC) =  \angle B-(  \angle JKM+  \angle MHS) =  (\angle B -  \angle MHS)- \angle AHM $
$= 180^o-  \angle MHS -(180^o-  \angle B)-  \angle A'HB=180^o-\angle HMS-\angle EBA'-\angle A'HB=180-\angle HBS-\angle EBA'- \angle A'HB =\angle BA'H$
Từ đó, chú ý rằng: $A'B=AB, BR=AC$ (Δ = nhau) $=> A'B/BR=AB/AC$
Nên $d(A/JB):(A/JC) = AB/AC . sinJBA/sinJCA = AB/AC . sinBA'R/sinBRA' = AB/AC . BR/A'B=1$
$=> A$ nằm trên đường phân giác $ \angle BJC$, vậy $JK$ là phân giác góc $BJC$ 






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: hình học, chuyên đề, đường tròn apollonius

0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh