CHo a,b,c $\geq 0$ thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}-3b\leq 0$. Tìm min $P=\frac{1}{(a+1)^{2}}+\frac{4}{(b+2)^{2}}+\frac{8}{(c+3)^{2}}$
Tìm min $P=\frac{1}{(a+1)^{2}}+\frac{4}{(b+2)^{2}}+\frac{8}{(c+3)^{2}}$
#1
Đã gửi 25-08-2022 - 15:33
#2
Đã gửi 28-08-2022 - 21:00
CHo a,b,c $\geq 0$ thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}-3b\leq 0$. Tìm min $P=\frac{1}{(a+1)^{2}}+\frac{4}{(b+2)^{2}}+\frac{8}{(c+3)^{2}}$
Dự đoán dấu bằng xảy ra khi $a=1,b=2,c=1$.
Cách 1.
Biến đổi tương đương chứng minh được $\frac{1}{(a+1)^2}\ge \frac{-a^2+3}{8}$ và $\frac{8}{(c+3)^2}\ge \frac{-c^2+5}{8}$. Do đó
\[P\ge \frac{-(a^2+c^2)}{8}+1+\frac{4}{(b+2)^2}\ge \underbrace{\frac{b^2-3b}{8}+1+\frac{4}{(b+2)^2}}_{f(b)}.\]
$\bullet$ Cách THCS
$\bullet$ Cách THPT
Cách 2.
Áp dụng liên tiếp bất đẳng thức $\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\ge \frac{8}{(x+y)^2}$ có được
$$P=\frac{1}{(a+1)^2}+\frac{1}{\left ( \frac{b}{2}+1 \right )^2}+\frac{8}{(c+3)^2}\ge \frac{8}{\left ( a+\frac{b}{2}+2 \right )^2}+\frac{8}{(c+3)^2}\ge \frac{64}{\left ( a+\frac{b}{2}+c+5 \right )^2}.$$
Từ giả thiết ta có
$$3b+6\ge (a^2+1)+(b^2+4)+(c^2+1)\ge 2a+4b+2c\implies a+\frac{b}{2}+c\le 3.$$
Do vậy ta cũng thu được kết quả như trên.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhungvienkimcuong: 28-08-2022 - 21:32
- perfectstrong, DOTOANNANG và ThienDuc1101 thích
Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra
Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em
Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh
7 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 7 khách, 0 thành viên ẩn danh