Chủ đề này có 3 trả lời

[toihoctoan]

Hàm số y = f(x) = (x + 1)(x + 2)...(x + 2019)(x + 2020) có bao nhiêu điểm cực trị?

[chanhquocnghiem]

Hàm số y = f(x) = (x + 1)(x + 2)...(x + 2019)(x + 2020) có bao nhiêu điểm cực trị?

Đồ thị hàm số này cắt trục hoành tại $2020$ điểm phân biệt (không có nghiệm kép) nên có $2019$ điểm cực trị (xen kẽ cực đại và cực tiểu).

Hơn nữa khi $x\to\pm\infty$ thì $y\to +\infty$ nên suy ra các điểm cực trị ngoài cùng bên trái và bên phải là cực tiểu.

Vậy có $1009$ điểm cực đại và $1010$ điểm cực tiểu.
 

[Thy Thy]

Đồ thị hàm số này cắt trục hoành tại $2020$ điểm phân biệt (không có nghiệm kép) nên có $2019$ điểm cực trị (xen kẽ cực đại và cực tiểu).
Hơn nữa khi $x\to\pm\infty$ thì $y\to +\infty$ nên suy ra các điểm cực trị ngoài cùng bên trái và bên phải là cực tiểu.
Vậy có $1009$ điểm cực đại và $1010$ điểm cực tiểu.

Cho em hỏi, nếu có nghiệm kép thì số cực trị sẽ bị ảnh hưởng như thế nào ạ?

Em ví dụ với bài dưới này ạ:

Hàm số $f(x)=x^2(x^2-1)(x^2-2)...(x^2-2020)$ có bao nhiêu cực trị?

Với bài em ví dụ thì $f(x)$ có 4040 nghiệm và 1 nghiệm kép x=0, lim_x->±∞f(x) = +∞ . Vậy làm sao để biết số cực tiểu và số cực đại và tại sao lại như vậy ạ? Mong anh giải đáp cho

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Thy Thy: 10-08-2020 - 23:39

[chanhquocnghiem]

Cho em hỏi, nếu có nghiệm kép thì số cực trị sẽ bị ảnh hưởng như thế nào ạ?

Em ví dụ với bài dưới này ạ:
Với bài em ví dụ thì $f(x)$ có 4040 nghiệm và 1 nghiệm kép x=0, lim_x->±∞f(x) = +∞ . Vậy làm sao để biết số cực tiểu và số cực đại và tại sao lại như vậy ạ? Mong anh giải đáp cho

Hàm số $f(x)=x^2(x^2-1)(x^2-2)(x^2-3)...(x^2-2020)$ có bao nhiêu điểm cực trị ?

----------------------------------------

Dễ thấy hàm số này có $4040$ nghiệm đơn và $1$ nghiệm kép ($x=0$)

Đồ thị và trục hoành có $4041$ điểm chung, có hoành độ là $-\sqrt{2020};-\sqrt{2019};-\sqrt{2018};...;-1;0;1;...;\sqrt{2019};\sqrt{2020}$

Bây giờ, tại lân cận của mỗi nghiệm kép, ta giả sử đồ thị "đi xuống" (hoặc "đi lên") thêm một chút sao cho mỗi nghiệm kép được thay bằng $2$ nghiệm đơn. Lúc đó, giữa 2 nghiệm đơn liên tiếp có đúng $1$ cực trị, suy ra số điểm cực trị bằng số nghiệm đơn trừ đi $1$.

Đối với bài đang xét, ta quy đổi $1$ nghiệm kép bằng $2$ "nghiệm đơn" $\rightarrow 4042$ nghiệm đơn.

Vậy số điểm cực trị là $4041$.

Vì $\lim_{x\to\pm \infty}f(x)=+\infty$ suy ra có $2021$ điểm cực tiểu và $2020$ điểm cực đại.

 

====================================

Tương tự, có thể tính được hàm số $f(x)=\left [ x(x-1)(x-2)(x-3)...(x-2020) \right ]^2$ có $2021$ điểm cực tiểu và $2020$ điểm cực đại.