Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm tất cả các số nguyên $m \geq 2$ sao cho $gcd(m,a_n)=1$ với mọi $n \geq 0$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
KietLW9

KietLW9

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1737 Bài viết

$\textbf{Bài toán.}$ Cho dãy số $(a_n)$ được xác định bởi $a_0=3$ và $$a_{n+1}-a_n=n(a_n-1), \forall n \geq 0$$

Tìm tất cả các số nguyên $m \geq 2$ sao cho $gcd(m,a_n)=1$ với mọi $n \geq 0$


Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 


#2
Hoang72

Hoang72

    Thiếu úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 539 Bài viết

Ta có $a_{n+1} = (n+1)a_n - n,\forall n\geq 0$

$\Rightarrow a_{n+1} - 1 = (n+1)(a_n - 1),\forall n\geq 0$.

Do đó $a_{n} = 1 + n! . 2,\forall n\geq 0$.

Xét $m$ là một số nguyên thoả mãn $(m,a_n) = 1,\forall n\geq 0$.

Giả sử $m$ có ước nguyên tố $p>3\Rightarrow p\geq 5$.

Theo định lý Wilson, ta có $(p-1)!\equiv -1\pmod p$

$\Rightarrow (p-2)!\equiv 1\pmod p$

$\Rightarrow (p-3)! \equiv \frac{1}{-2}\pmod p$.

Do đó $a_{p-3} = 2 . (p-3)! + 1 \equiv 2 . \frac{1}{-2} + 1 \equiv 0\pmod p$

$\Rightarrow p\mid a_{p-3}$, vô lí.

Dẫn đến $m$ không có ước nguyên tố nào khác $2$ và $3$.

Ngoài ra do $(m,3) = (m,a_0) =1$ nên $m$ là một luỹ thừa của $2$.

Mặt khác $a_n$ là số lẻ với mọi $n\in\mathbb N$ nên $(a_n,2^k) = 1,\forall n,k\in\mathbb N$.

Vậy $m=2^k; k\in\mathbb N^*$. 



#3
chuyenndu

chuyenndu

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 177 Bài viết

Greece TST 2016

https://artofproblem...1269148p6624948






2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh