Cho $\displaystyle a,b\in N;a,b\geqslant 2$ Chứng minh rằng $\displaystyle a^{n} +b^{n} |a^{m} +b^{m} .\ CMR\ n|m$
$\displaystyle a^{n} +b^{n} |a^{m} +b^{m} .\ CMR\ n|m$
#1
Đã gửi 30-08-2022 - 21:24
#2
Đã gửi 30-08-2022 - 22:14
Đặt $m=qn+r$ ( $0\leq r < n$ )
Suy ra $a^{m}+b^{m}=(a^{n})^{q}.a^{r}+(b^{n})^{q}.b^{r}$
+) q lẻ thì $a^{m}+b^{m}=[(a^{n})^{q}+(b^{n})^{q}].a^{r}+(b^{r}-a^{r}).(b^{n})^{q}$
$a^{n}+b^{n}|a^{m}+b^{m}\Leftrightarrow (b^{r}-a^{r}).(b^{n})^{q}=0 \Leftrightarrow a=b \Rightarrow n|m$ ( Do $(b^{r}-a^{r}).(b^{n})^{q}$ không chia hết cho $a^{n}+b^{n}$
+) q chẵn thì $a^{m}+b^{m}=[(a^{n})^{q}-(b^{n})^{q}].a^{r}+a^{r}.(b^{n})^{q}+b^{r}.(b^{n})^{q}$
Mà $[(a^{n})^{q}-(b^{n})^{q}]\vdots (a^{n}+b^{n})$
Suy ra $(a^{r}+b^{r}).(b^{n})^{q}\vdots (a^{n}+b^{n})$ ( vô lí )
Vậy đpcm.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thanhng2k7: 30-08-2022 - 22:18
- perfectstrong, hxthanh và Altuna thích
Tất cả mọi thứ đều có thể chứng minh bằng Toán học
#3
Đã gửi 31-08-2022 - 05:36
Đặt $m=qn+r$ ( $0\leq r < n$ )
Suy ra $a^{m}+b^{m}=(a^{n})^{q}.a^{r}+(b^{n})^{q}.b^{r}$
+) q lẻ thì $a^{m}+b^{m}=[(a^{n})^{q}+(b^{n})^{q}].a^{r}+(b^{r}-a^{r}).(b^{n})^{q}$
$a^{n}+b^{n}|a^{m}+b^{m}\Leftrightarrow (b^{r}-a^{r}).(b^{n})^{q}=0 \Leftrightarrow a=b \Rightarrow n|m$ ( Do $(b^{r}-a^{r}).(b^{n})^{q}$ không chia hết cho $a^{n}+b^{n}$
+) q chẵn thì $a^{m}+b^{m}=[(a^{n})^{q}-(b^{n})^{q}].a^{r}+a^{r}.(b^{n})^{q}+b^{r}.(b^{n})^{q}$
Mà $[(a^{n})^{q}-(b^{n})^{q}]\vdots (a^{n}+b^{n})$
Suy ra $(a^{r}+b^{r}).(b^{n})^{q}\vdots (a^{n}+b^{n})$ ( vô lí )
Vậy đpcm.
Lời giải của bạn chưa chuẩn, nhưng đề bài cũng có vấn đề. Đề bài chỉ đúng khi $(a,b) = 1$, chẳng hạn với $a = 5; b = 10; n = 2; m = 7$ thì không thoả mãn. Cách của bạn sẽ áp dụng được khi $(a,b) = 1$.
- perfectstrong, hxthanh, thanhng2k7 và 1 người khác yêu thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh