Đến nội dung

Hình ảnh

$\displaystyle a^{n} +b^{n} |a^{m} +b^{m} .\ CMR\ n|m$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
Altuna

Altuna

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 8 Bài viết

Cho $\displaystyle a,b\in N;a,b\geqslant 2$ Chứng minh rằng $\displaystyle a^{n} +b^{n} |a^{m} +b^{m} .\ CMR\ n|m$



#2
thanhng2k7

thanhng2k7

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 129 Bài viết

Đặt $m=qn+r$ ( $0\leq r < n$ )

Suy ra $a^{m}+b^{m}=(a^{n})^{q}.a^{r}+(b^{n})^{q}.b^{r}$

+) q lẻ thì $a^{m}+b^{m}=[(a^{n})^{q}+(b^{n})^{q}].a^{r}+(b^{r}-a^{r}).(b^{n})^{q}$

$a^{n}+b^{n}|a^{m}+b^{m}\Leftrightarrow (b^{r}-a^{r}).(b^{n})^{q}=0 \Leftrightarrow a=b \Rightarrow n|m$ ( Do $(b^{r}-a^{r}).(b^{n})^{q}$ không chia hết cho $a^{n}+b^{n}$

+) q chẵn thì $a^{m}+b^{m}=[(a^{n})^{q}-(b^{n})^{q}].a^{r}+a^{r}.(b^{n})^{q}+b^{r}.(b^{n})^{q}$  

Mà $[(a^{n})^{q}-(b^{n})^{q}]\vdots (a^{n}+b^{n})$

Suy ra  $(a^{r}+b^{r}).(b^{n})^{q}\vdots (a^{n}+b^{n})$ ( vô lí )

Vậy đpcm.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thanhng2k7: 30-08-2022 - 22:18

Tất cả mọi thứ đều có thể chứng minh bằng Toán học ;)


#3
Hoang72

Hoang72

    Thiếu úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 539 Bài viết

Đặt $m=qn+r$ ( $0\leq r < n$ )

Suy ra $a^{m}+b^{m}=(a^{n})^{q}.a^{r}+(b^{n})^{q}.b^{r}$

+) q lẻ thì $a^{m}+b^{m}=[(a^{n})^{q}+(b^{n})^{q}].a^{r}+(b^{r}-a^{r}).(b^{n})^{q}$

$a^{n}+b^{n}|a^{m}+b^{m}\Leftrightarrow (b^{r}-a^{r}).(b^{n})^{q}=0 \Leftrightarrow a=b \Rightarrow n|m$ ( Do $(b^{r}-a^{r}).(b^{n})^{q}$ không chia hết cho $a^{n}+b^{n}$

+) q chẵn thì $a^{m}+b^{m}=[(a^{n})^{q}-(b^{n})^{q}].a^{r}+a^{r}.(b^{n})^{q}+b^{r}.(b^{n})^{q}$  

Mà $[(a^{n})^{q}-(b^{n})^{q}]\vdots (a^{n}+b^{n})$

Suy ra  $(a^{r}+b^{r}).(b^{n})^{q}\vdots (a^{n}+b^{n})$ ( vô lí )

Vậy đpcm.

Lời giải của bạn chưa chuẩn, nhưng đề bài cũng có vấn đề. Đề bài chỉ đúng khi $(a,b) = 1$, chẳng hạn với $a = 5; b = 10; n = 2; m = 7$ thì không thoả mãn. Cách của bạn sẽ áp dụng được khi $(a,b) = 1$.






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh