Đến nội dung

Hình ảnh

Khi nào thì nhân hoán vị?

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 8 trả lời

#1
Ruka

Ruka

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 153 Bài viết

Mọi người cho e hỏi là khi nào thì ta phải nhân hoán vị của số lại ạ

Để e lấy 1 VD để mn dễ hình dung

Câu hỏi:Có bao nhiêu số có 5 chữ số khác nhau mà tất cả các số đều là số chẵn?

Solve:

Gọi số cần tìm có dạng: $\overline{abcde}$

Khi đó để thỏa yêu cầu của đề đã cho thì:$ a \in {{2;4;6;8}}$ và $b,c,d,e \in {{0;2;4;6;8}}$

Từ đó:$a$ có 4 cách chọn

$b$ có 4 cách chọn $(b \ne a)$

$c$ có 3 cách chọn $(c \ne a,b)$

$d$ có 2 cách chọn $(d \ne a,b,c)$

$e$ có 1 cách chọn $(e \ne a,b,c,d)$

Vậy có:$ 4.4.3.2.1 = 96$(số)

P/s:Kết quả cuối cùng không phải nhân với $5!$ bởi vì các số đó đều đã được chọn vị trí sẵn rồi

Còn phải nhân với hoán vị khi các số đó được chọn mà chưa được cố định vị trí.

 

Hướng suy nghĩ của e như vậy đã đúng chưa ạ?

Nếu chưa thì như thế nào mới phải nhân vậy ạ?Có thể cho em ví dụ đc ko ạ.Em cảm ơn nhiều ạ


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ruka: 03-09-2022 - 06:28


#2
perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản lý Toán Ứng dụng
  • 4990 Bài viết

Mấu chốt của việc không nhân hoán vị là đúng như bạn nói: các đối tượng (ví dụ như chữ số) đã được định vị trí. Ngược lại, nếu đề không yêu cầu vị trí, thì bạn phải chia đi số hoán vị, hay đúng hơn, là số lần mà một đáp án bị lặp.

Ví dụ nhân hoán vị: có bao nhiêu cách để chọn ra 10 học sinh để xếp thành hàng dọc từ một lớp học có 40 bạn ?

Cả hai cách giải sau đều có cùng kết quả:

1. Vị trí thứ nhất có 40 cách chọn chọn, vị trí thứ hai có 39 cách (khác với bạn đầu tiên), v.v. Tổng cộng sẽ có $40 \times 39 \times \ldots \times 31$.

2. Có $C_{40}^{10}$ cách chọn ra 10 bạn bất kỳ từ trong lớp, sau đó, với mỗi cách chọn đó, ta có thêm $10!$ cách sắp các bạn thành hàng dọc. Cho nên kết quả là $10! C_{40}^{10}=A_{40}^{10}$.

Tuy nhiên, nếu yêu cầu là chọn ra để xếp thành vòng tròn nhảy lửa, thì với mỗi cách chọn trên, bạn phải chia đi $10$, vì một cách xếp vòng tròn sẽ tương ứng với $10$ cách xếp hàng dọc (thay đổi vị trí người đầu tiên, rồi đọc theo chiều kim đồng hồ).


Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.

#3
Ruka

Ruka

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 153 Bài viết

Mấu chốt của việc không nhân hoán vị là đúng như bạn nói: các đối tượng (ví dụ như chữ số) đã được định vị trí. Ngược lại, nếu đề không yêu cầu vị trí, thì bạn phải chia đi số hoán vị, hay đúng hơn, là số lần mà một đáp án bị lặp.

Ví dụ nhân hoán vị: có bao nhiêu cách để chọn ra 10 học sinh để xếp thành hàng dọc từ một lớp học có 40 bạn ?

Cả hai cách giải sau đều có cùng kết quả:

1. Vị trí thứ nhất có 40 cách chọn chọn, vị trí thứ hai có 39 cách (khác với bạn đầu tiên), v.v. Tổng cộng sẽ có $40 \times 39 \times \ldots \times 31$.

2. Có $C_{40}^{10}$ cách chọn ra 10 bạn bất kỳ từ trong lớp, sau đó, với mỗi cách chọn đó, ta có thêm $10!$ cách sắp các bạn thành hàng dọc. Cho nên kết quả là $10! C_{40}^{10}=A_{40}^{10}$.

Tuy nhiên, nếu yêu cầu là chọn ra để xếp thành vòng tròn nhảy lửa, thì với mỗi cách chọn trên, bạn phải chia đi $10$, vì một cách xếp vòng tròn sẽ tương ứng với $10$ cách xếp hàng dọc (thay đổi vị trí người đầu tiên, rồi đọc theo chiều kim đồng hồ).

Anh ơi a có thể cho e xin ví dụ thì khi nào mk chia để tránh cho đáp án bị lặp ko ạ.Em cảm ơn nhiều ạ :)



#4
Le Tuan Canhh

Le Tuan Canhh

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 226 Bài viết

1) Có bao nhiêu cách xếp 4 người lên 3 toa tàu biết mỗi toa có thể chứa 4 người 

Bài này có 2 hướng 1 là người chọn toa 2 là toa chọn người

Hướng 1: người chọn toa

Có 4 người mà mỗi người có 4 cách chọn toa nên có $3^{4}=81$ (cách)

Hướng 2: toa chọn người 

TH1: Cả 4 người cùng lên 1 toa : có 3 cách

TH2: Sắp xếp sao cho 1 toa có 3 người , 1 toa có 1 người, toa còn lại ko có người, có: $C_{4}^{3}.C_{3}^{1}C_{1}^{1}C_{2}^{1}=24$ ( cách)

TH3: Sắp xếp sao cho 1 toa có có 2 người , 2 toa còn lại mỗi toa 1 người, có: $C_{4}^{2}.C_{3}^{1}.2!=36$ ( cách)

TH4: Sắp xếp sao cho 2 toa mỗi toa 2 người, toa còn lại ko có người, có: $C_{4}^{2}.C_{3}^{1}.C_{2}^{2}C_{2}^{1}=36$ ( cách)

Tổng cộng có: 3+24+36+36=99 ( cách)

Kết quả 2 hướng khác nhau, bạn tìm xem điều vô lí ở đâu ? 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Le Tuan Canhh: 03-09-2022 - 15:19

Dư :unsure: Hấu   


#5
Ruka

Ruka

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 153 Bài viết

Cách 1:4 người chọn 3

Người 1 có 3 cách chọn toa

Người 2 có 3 cách chọn toa

Người 3 có 3 cách chọn toa

Người 4 có 3 cách chọn toa

$\to$ Số cách chọn toa là:$3.3.3.3 = 81$(cách)

Cách này là đúng vì số toa đã được cố định.Đúng như anh Perfectstrong đã nói

Theo suy luận logic thì nếu cách 1 đúng là 81 cách và cách 2 nhiều hơn đồng nghĩa với việc là đã xét thừa.Do đó:

Cách 2:Theo mk thấy thì TH2 và TH4 có điểm tương đồng với nhau là cả 2 đều xếp vào 2 toa tàu chỉ khác là số người.Tức là đã xét thừa

Theo mk thì;2 trường hơp 2 và 4 nên gộp lại thành 1 là:

Xếp 4 người vào 2 toa có:$C_4^3 . C_3^2  + C_4^2 . C_3^2 + C_4^1 . C_3^2 = 42$(cách)

Có 3 TH xếp 2 người như này:(1;3);(2;2);(3;1).Mk dựa vào đây thoi.

2 TH còn lại đúng rồi.

Vậy có tất cả:$3 + 42 + 36 = 81$(cách)

Vậy là hướng giải 2 có vấn đề nhé.

Nếu sai bạn sửa hộ mình nhé


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ruka: 03-09-2022 - 23:05


#6
hxthanh

hxthanh

    Tín đồ $\sum$

  • Hiệp sỹ
  • 3915 Bài viết
Nếu toa chọn người thì sẽ có các trường hợp $(4,0,0); (3,1,0); (2,2,0); (2,1,1)$ và các thứ tự toa
Đáp án sẽ là $\frac{4!}{4!0!0!}\cdot \frac{3!}{1!2!}+\frac{4!}{3!1!0!}\cdot \frac{3!}{1!1!1!}+\frac{4!}{2!2!0!}\cdot \frac{3!}{2!1!}+\frac{4!}{2!1!1!}\cdot \frac{3!}{1!2!}=3+24+18+36=81$
Ý nghĩa của mỗi số hạng như sau:
- Phân số bên trái: Chia $4$ người thành 3 nhóm với số lượng tương ứng
- Phân số bên phải: Hoán vị của 3 nhóm vừa chia (tương ứng cho mỗi toa)
Ví dụ $(4,0,0); (0,4,0); (0,0,4)$ là các hoán vị có 3 phần tử trong đó 1 phần tử khác nhau 2 phần tử giống nhau…

#7
vkhoa

vkhoa

    Trung úy

  • Điều hành viên THPT
  • 933 Bài viết
Bài #5 của Ruka,
Chỗ gộp th 2 và 4
Công thức có thể viết lại như sau
$C^3_4.A^2_3 + \frac{C^2_4.A^2_3}{2!}$

#8
Ruka

Ruka

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 153 Bài viết

Bài #5 của Ruka,
Chỗ gộp th 2 và 4
Công thức có thể viết lại như sau
$C^3_4.A^2_3 + \frac{C^2_4.A^2_3}{2!}$

Anh có thể giải thích 1 chút ở chỗ $C^3_4 . A^2_3$ thì tại sao mk lại dùng $A^2_3$ không ạ.

Và chỗ $\dfrac{C^2_4 . A^2_3}{2!}$ thì tại sao mk lại chia cho $2!$ vậy ạ?



#9
vkhoa

vkhoa

    Trung úy

  • Điều hành viên THPT
  • 933 Bài viết
Có $C^3_4$ cách chia người thành nhóm 1 và 3
Có $A^2_3$ cách chọn toa cho 2 nhóm vì 1 khác 3, thứ tự khác nhau thì khác nhau
Có $C^2_4$ cách chia 2 nhóm 2 người
Có $\frac{A^2_3}2!$ cách chọn toa nhưng 2 lặp 2 lần nên chia cho 2!




2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh