Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh rằng $AX,BY,CZ$ đồng quy

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
KietLW9

KietLW9

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1737 Bài viết

Cho $\Delta ABC$ ngoại tiếp $(I)$ có $H$ là trực tâm. Gọi $D,E,F$ là tâm nội tiếp các tam giác $HBC,HCA,HAB$. Gọi $X,Y,Z$ là giao điểm thứ hai của $(AHD),(BHE),(CHF)$ với $(O)$. Chứng minh rằng $AX,BY,CZ$ đồng quy


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 17-07-2022 - 21:30

Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 


#2
kkqwe

kkqwe

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 20 Bài viết

H ở đây là trực tâm ạ?



#3
KietLW9

KietLW9

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1737 Bài viết

H ở đây là trực tâm ạ?

Dạ vâng do sơ suất nên mình quên gõ ạ :ohmy:


Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 


#4
DaiphongLT

DaiphongLT

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 202 Bài viết

Ta chứng minh $(AHD), (BHE), (CHF)$ đồng trục
Xét phép nghịch đảo cực $H$ phương tích $HA.HT$ ($T$ là chân đường cao từ $A$ tới $BC$) thì ta cần chứng minh $DD', EE', FF'$ đồng quy với $D', E', F'$ lần lượt là tâm đường tròn bàng tiếp góc $H$ của $\Delta HEF$, $\Delta HFD$, $\Delta HDE$
Có $\frac{sin\widehat{FDD'}}{sin\widehat{EDD'}}=\frac{D'F}{D'E}.\frac{sin\widehat{D'FD}}{sin\widehat{D'ED}}=\frac{sin\widehat{D'IF}}{sin\widehat{D'IE}}.\frac{sin(\widehat{DFE}+90^{\circ}-\frac{\widehat{HFE}}{2})}{sin(\widehat{DEF}+90^{\circ}-\frac{\widehat{HEF}}{2})}=\frac{sin(90^{\circ}-\frac{\widehat{HEF}}{2})}{sin(90^{\circ}-\frac{\widehat{HFE}}{2})}.\frac{sin(\widehat{DFE}+90^{\circ}-\frac{\widehat{HFE}}{2})}{sin(\widehat{DEF}+90^{\circ}-\frac{\widehat{HEF}}{2})}$
Tương tự cho các cặp còn lại, kết hợp với $H$ là tâm đường tròn nội tiếp $\Delta DEF$ nên ta có $DD', EE', FF'$ đồng quy
Vì vậy $(AHD), (BHE), (CHF)$ đồng trục. Do đó $AX, BY, CZ$ sẽ đồng quy tại một điểm nằm trên trục đẳng phương của 3 đường tròn này


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DaiphongLT: 18-07-2022 - 23:17

ズ刀Oア





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh