Với $m$ là số nguyên dương tùy ý, hãy chứng minh rằng $5^m +3$ không có bất kỳ ước nguyên tố nào có dạng : $ p= 30k+11$ hay $ p = 30k-1$
QR1 $5^m +3$ không có bất kỳ ước nguyên tố nào có dạng : $ p= 30k+11$ hay $ p = 30k-1$
#1
Đã gửi 06-09-2022 - 22:42
- perfectstrong, DOTOANNANG, Hoang72 và 2 người khác yêu thích
#2
Đã gửi 07-09-2022 - 21:48
Có cách xử lí khác thặng dư bình phương không nhỉ.
Giả sử tồn tại ước nguyên tố của $5^m+3$ dạng $p=30k+11$ hay $30k-1$.
Xét 2 trường hợp:
$\bullet$ $m$ chẵn: Khi đó $\left ( \frac{-3}{p} \right ) = 1$.
Theo luật thuận nghịch bậc hai, ta có $\left ( \frac{3}{p} \right )\left ( \dfrac{p}{3} \right ) = (-1)^{\frac{(p-1)(3-1)}{4}} = (-1)^\frac{p-1}{2}$.
Mà $\left ( \frac{p}{3} \right )=-1$ (Do $p\equiv 2\pmod 3$)
Nên $\left ( \frac{3}{p} \right )=(-1)^{\frac{p-1}{2}-1}$.
Mặt khác ta có $\left ( \frac{-1}{p} \right ) = (-1)^{\frac{p-1}{2}}$.
Do đó $\left ( \frac{-3}{p} \right ) = \left ( \frac{3}{p} \right )\left ( \frac{1}{p} \right ) = (-1)^{\frac{p-1}{2} . 2 - 1} = -1$, vô lí.
$\bullet$ $m$ lẻ: Khi đó $p\mid 5^{m+1}+15\Rightarrow \left(\frac{-15}{p}\right) = 1$.
Tương tự như trên, ta thấy $\left ( \frac{5}{p} \right )\left ( \frac{p}{5} \right ) = (-1)^{\frac{(5-1)(p-1)}{4}} = 1$
$\Rightarrow \left(\frac{5}{p}\right) =1$;
$\left ( \frac{3}{p} \right )\left ( \frac{p}{3} \right ) = (-1)^{\frac{p-1}{2}}$.
$\Rightarrow \left(\frac{3}{p} \right) = (-1) . (-1)^\frac{p-1}{2}$.
Ngoài ra, $\left(\frac{-1}{p}\right) = (-1)^\frac{p-1}{2}$ nên nhân lại ta thấy điều vô lí.
Vậy ta có đpcm.
- supermember yêu thích
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh