Chủ đề này có 1 trả lời

[nhungvienkimcuong]

Tìm tất cả hàm $f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ có tính chất: với dãy $(x_n)_{n\ge 1}$ bất kì thỏa mãn $\lim_{n\to +\infty}\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}=0$ thì

\[\lim_{n\to +\infty}\frac{f(x_1)+f(x_2)+\dots+f(x_n)}{n}=0.\]

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhungvienkimcuong: 29-07-2022 - 08:34

[Hoang72]

$\bullet$ Chứng minh $f$ là hàm lẻ:

Lấy $y\in\mathbb R$ bất kì. 

Xét dãy $(x_n)$ xác định bởi: $\begin{cases} x_{2k-1} = y  \\ x_{2k} =-y \end{cases},\forall k\in\mathbb N^*$.

Thế thì $\lim \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^n x_i}{n} = 0$, do đó $\lim \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^n f(x_i)}{n} = 0$

$\Rightarrow \lim \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{2n} f(x_i)}{2n} = 0\Rightarrow \frac{f(y) + f(-y)}{2} = 0$

$\Rightarrow -f(y) = f(-y)$.

$\bullet$ Chứng minh $f$ là hàm cộng tính:

Lấy $x,y\in\mathbb R$ bất kì.

Xét dãy $(x_n)$ xác định bởi: $\begin{cases} x_{3k-2} = -x \\ x_{3k-1} = -y \\ x_{3k} = x+y\end{cases},\forall k\in\mathbb N^*$.

Thế thì $\lim \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^n x_i}{n} = 0$, do đó $\lim \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^n f(x_i)}{n} = 0$

$\Rightarrow \lim \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{3n} f(x_i)}{3n} = 0\Rightarrow \frac{f(-x) + f(-y) + f(x+y)}{3} = 0$

$\Rightarrow f(-x) + f(-y) + f(x+y) = 0\Rightarrow f(x) + f(y) = f(x+y)$.

Nhờ tính chất cộng tính, điều kiện bài toán tương đương: Với mọi dãy $(y_n)$ tiến về $0$ thì $\lim \frac{f(ny_n)}{n} = 0$.

Mặt khác $f(ny_n) = nf(y_n)$ nên $\lim f(y_n) =0$.

Suy ra $f$ liên tục tại $0$.

Do $f$ liên tục tại $0$ và $f$ cộng tính nên $f(x) = ax,\forall x\in\mathbb R$, với $a$ là hằng số nào đó.