Chủ đề này có 1 trả lời

[Explorer]

Cho a>0. Tìm tất cả hàm số $f: \mathbb{R}^{^{+}}\rightarrow \mathbb{R}^{+}$ thỏa mãn:

$f(\frac{1}{x}+f(2y))=\frac{1}{f(x)}+ay$ với x,y>0

[Hoang72]

Giả sử tồn tại hàm số thoả mãn yêu cầu bài toán.

Đặt $b=\frac{a}{2} > 0$. Phương trình hàm đã cho tương đương\begin{equation} f\left(\frac{1}{x} + f(y) \right) = \frac{1}{f(x)} + by,\forall x,y>0 \end{equation}

Thay $y$ bởi $\frac{1}{z} + f(y)$ vào $(1)$ ta có: $f\left(\frac{1}{x} + f\left(\frac{1}{z} + f(y)\right)\right) = \frac{1}{f(x)} + \frac{b}{z} + bf(y),\forall x,y,z>0$

$\Leftrightarrow f\left(\frac{1}{x} + \frac{1}{f(z)} + by\right) = \frac{1}{f(x)} + \frac{b}{z} + bf(y),\forall x,y,z>0$.

Ở trên, thay $x$ bởi $\frac{1}{bx}$ ta có $f\left(bx + \frac{1}{f(z)} + by\right)=\frac{1}{f\left(\frac{1}{bx}\right)} + \frac{b}{z}+bf(y),\forall x,y,z>0$.

Hoán vị $x,y$ ta có $\frac{1}{f\left(\frac{1}{bx}\right)} +bf(y) = \frac{1}{f\left(\frac{1}{by}\right)} + bf(x),\forall x,y>0\Leftrightarrow bf(x) - \frac{1}{f\left(\frac{1}{bx}\right)} = c,\forall x > 0$, với $c$ là hằng số nào đó.

+ Nếu $c<0$ thì $\frac{1}{f\left(\frac{1}{bx}\right)} = bf(x) - c > -c,\forall x>0$

$\Rightarrow \frac{1}{f(x)}> -c,\forall x>0\Rightarrow f(x) < -c,\forall x>0$.

Tuy nhiên ở $(1)$ cho $y\to+\infty$ ta thấy ngay điều vô lí.

+ Nếu $c>0$ thì $bf(x)>c,\forall x>0\Rightarrow f(x) > \frac{c}{b} ,\forall x > 0$

$\Rightarrow bf(x) = \frac{1}{f\left(\frac{1}{bx}\right)} + c < \frac{b}{c} + c,\forall x > 0$, hay $f$ bị chặn trên.

Tương tự trường hợp trên ta thấy điều vô lí.

Do đó $c=0$, hay $f\left(\frac{1}{bx}\right) = \frac{1}{bf(x)},\forall x > 0$ $(2)$

Thay $x$ bởi $\frac{1}{bx}$ vào $(1)$ rồi sử dụng $(2)$ ta có $f\left(bx + f(y)\right) = bf(x) + by,\forall x,y>0$ $(3)$

Dễ thấy $f$ là đơn ánh. 

Ở $(3)$ thay $y$ bởi $f(y)$ ta có $f(bx + f(f(y))) = bf(x) + bf(y),\forall x,y>0$. $(4)$

Hoán vị $x,y$ thì $f(bx + f(f(y))) = f(by + f(f(x))),\forall x,y>0$

$\Rightarrow bx + f(f(y)) = by + f(f(x)),\forall x,y>0\Rightarrow f(f(x)) = bx + d,\forall x > 0$, với $d$ là hằng số không âm.

Ở trên, thay $x$ bởi $\frac{1}{bx}$ ta có: $f\left(f\left(\frac{1}{bx}\right)\right) = \frac{1}{x} + c,\forall x > 0$.

Theo $(2)$ thì $f\left(\left(\frac{1}{bx}\right)\right) = f\left(\frac{1}{bf(x)}\right) = \frac{1}{bf(f(x))} = \frac{1}{b(bx+c)},\forall x > 0$.

Do đó $\frac{1}{b(bx+c)} = \frac{1}{x}+c,\forall x >0$.

Để điều này đúng với mọi $x>0$ thì $b=1$ và $c=0$.

Suy ra $f(f(x)) = x,\forall x > 0$, và từ $(4)$ ta có $f(x+y) = f(x) + f(y),\forall x,y>0$.

Dẫn đến $f$ là hàm tăng và là hàm cộng tính, nên $f(x) =mx,\forall x > 0$. Thử lại ta có $m=1$.

Vậy để phương trình hàm đã cho có nghiệm thì $a=2$ và khi đó phương trình hàm có nghiệm duy nhất $\boxed{f(x) = x,\forall x >0}$.