Chủ đề này có 5 trả lời

[Nobodyv3]

Có bao nhiêu tập con từ tập $ \left \{ 1,2,3,...,2016 \right \}$ sao cho tổng các phần tử chia hết cho $61$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv3: 11-09-2022 - 12:55

[vkhoa]

Để dễ tính toán hơn
Chuyển tập hợp trên về tập hợp {34 số 1, 34 số 2, 34 số 3, 33 số 4, 33 số 5,..., 33 số 59, 33 số 60, 33 số 0}
Tới đây thì mình bí, hehe

[Nobodyv3]

Để dễ tính toán hơn
Chuyển tập hợp trên về tập hợp {34 số 1, 34 số 2, 34 số 3, 33 số 4, 33 số 5,..., 33 số 59, 33 số 60, 33 số 0}
Tới đây thì mình bí, hehe

Cái compiler của em dịch ra như sau:
Xét  $f(x)= (1+x)(1+x^2)...(1+x^{2016})$
Gọi $\omega =e^{2\pi i/61}$ là căn bậc 61 nguyên thủy của đơn vị thì số tập con thỏa yêu cầu đề bài là $S=\frac{1}{61}\left [f(1)+f(\omega )+...+f(\omega ^{60})  \right ]$ và $\omega $là nghiệm của $y^{61}=1$, ta có :
$y^{61}-1=(y-1)(y-\omega )(y-\omega ^2)...(y-\omega ^{60})$ thay $y=-1$ thì
$2=(1+1)(1+\omega )(1+\omega ^2)...(1+\omega ^{60})$
Với $1\leq k\leq 60$ thì tập $\left \{k,2k,...,60k  \right \}$ là một hoán vị của $\left \{1,2,...,60 \right \}$ theo$\pmod {61}$ cho nên
$2=(1+1)(1+\omega^k )(1+\omega^{2k})...(1+\omega ^{60k})$
Ta thấy $2016=61.33+3$ nên
$f(\omega ^{k})=(1+\omega ^k)(1+\omega ^{2k} )...(1+\omega ^{2016k})=
\left [(1+1)(1+\omega ^k)(1+\omega ^{2k} )...(1+\omega ^{60k}) \right ]^{33}(1+\omega ^k)(1+\omega ^{2k})(1+\omega ^{3k}) =2^{33}(1+\omega ^k)(1+\omega^{2k} )(1+\omega^{3k} )$
Bravo!. Được nửa đường rồi, tiếp nữa đi anh Khoa ơi!

[Nobodyv3]

Cái compiler của em dịch ra như sau:
Xét $f(x)= (1+x)(1+x^2)...(1+x^{2016})$
Gọi $\omega =e^{2\pi i/61}$ là căn bậc 61 nguyên thủy của đơn vị thì số tập con thỏa yêu cầu đề bài là $S=\frac{1}{61}\left [f(1)+f(\omega )+...+f(\omega ^{60}) \right ]$ và $\omega $là nghiệm của $y^{61}=1$, ta có :
$y^{61}-1=(y-1)(y-\omega )(y-\omega ^2)...(y-\omega ^{60})$ thay $y=-1$ thì
$2=(1+1)(1+\omega )(1+\omega ^2)...(1+\omega ^{60})$
Với $1\leq k\leq 60$ thì tập $\left \{k,2k,...,60k \right \}$ là một hoán vị của $\left \{1,2,...,60 \right \}$ theo$\pmod {61}$ cho nên
$2=(1+1)(1+\omega^k )(1+\omega^{2k})...(1+\omega ^{60k})$
Ta thấy $2016=61.33+3$ nên
$f(\omega ^{k})=(1+\omega ^k)(1+\omega ^{2k} )...(1+\omega ^{2016k})=
\left [(1+1)(1+\omega ^k)(1+\omega ^{2k} )...(1+\omega ^{60k}) \right ]^{33}(1+\omega ^k)(1+\omega ^{2k})(1+\omega ^{3k}) =2^{33}(1+\omega ^k)(1+\omega^{2k} )(1+\omega^{3k} )$
Bravo!. Được nửa đường rồi, tiếp nữa đi anh Khoa ơi!

...continued.
Đúng ra là được 2/3 đường rồi. Tiếp sức nhé.
Xét đa thức :
$p(x)= (1+x)(1+x^{2})(1+x ^{3}) =1+ a_{1}x+a_{2}x^2+...+a_{6}x^6$ ta thấy :
$\sum_{k=1}^{60}\left ( \omega ^{i} \right )^{k}=-1\Longrightarrow \sum_{i=1}^{60}p(\omega ^{i})=60-\left ( a_{1}+a_{2}+...+a_{6} \right )=61-p(1)=61-2^3=53$
Do đó:
$S=\frac{f(1)+ f(\omega ^{k}) }{61}=\frac{2^{2016}+53\cdot2^{33}}{61}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv3: 15-09-2022 - 16:37

[Nobodyv3]

Bài nữa nhé.
Bài 2.1: Có bao nhiêu tập con 3 phần tử từ tập $\left \{ 1,2,...,100 \right \}$ sao cho tổng các phần tử chia hết cho $5$.
Bài 2.2: Tìm số tập con từ tập
$\left\{1,2,...,n \right\}$thỏa mãn : mỗi tập có đúng 3 phần tử và tổng các phần tử chia hết cho 3.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv3: 16-09-2022 - 12:56

[Nobodyv3]

Bài 2.1:
Xét đa thức :
$$f(x,y)=(1+xy)(1+x^2y)...(1+x^{100}y)$$
Yêu cầu của bài toán là tính tổng các hệ số của các số hạng chứa $x^{5k}y^3$ trong khai triển của $f(x,y)$.
Gọi $\omega=cis\left ( \frac{2\pi}{5} \right )$ thì
$\omega ^5=1$ và
$\begin{align*}
\frac{ \sum_{k=0}^{4} f\left ( \omega ^k,y \right )}{5} &=\frac{\left ( 1+y \right )^{100}+\sum_{k=1}^{4}f(\omega ^k,y)}{5}\\
&= \frac{(1+y)^{100}+4\left(\prod_{k=0}^{4}\left ( 1+\omega ^ky \right )\right)^{20}}{5}\\
&= \frac{(1+y)^{100}+4y^{100}\left ( \prod_{k=0}^{4}\left ( \frac{-1}{y}-\omega ^k \right ) \right )^{20}}{5}\\
&= \frac{(1+y)^{100}}{5}+\frac{4y^{100}\left ( \frac{-1}{y^5}-1 \right )^{20}}{5}
\end{align*}$
Do số hạng thứ hai không tham gia vào việc tính toán này nên đáp án là $\boxed { \frac {1}{5} \binom {100}{3}=32340}$
Bài 2.2:
Hint: sử dụng quan hệ truy hồi.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv3: 17-09-2022 - 13:53